内容发布更新时间 : 2025/7/18 6:35:07星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第2课时 指数函数及其性质的应用

学习目标：1.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．(重点)2.通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点)

[合 作 探 究·攻 重 难]

利用指数函数的单调性比较大小

比较下列各组数的大小： (1)1.5和1.5； (2)0.6

1.1

－1.20.22.5

3.2

和0.6

0.3

－1.5

；

(3)1.7和0.9； (4)a与a(a>0且a≠1).

【导学号：37102243】

[解] (1)1.5,1.5可看作函数y＝1.5的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.5<1.5. (2)0.6

－1.2

2.5

3.2

2.5

3.2

2.1

xx,0.6

－1.5

可看作函数y＝0.6的两个函数值，

－1.2

x因为函数y＝0.6在R上是减函数， 且－1.2>－1.5，所以0.6所以1.7>0.9.

(4)当a>1时，y＝a在R上是增函数，故a>a； 当01和0

x1.1

0.3

0.2

2.1

x<0.6

－1.50

.

2.1

0

(3)由指数函数性质得，1.7>1.7＝1,0.9<0.9＝1，

x1.1

0.3

0.2

- 1 -

21

332

4?2??3???1．比较下列各值的大小：??，2，?－?，??. ?3??3??4?[解] 先根据幂的特征，将这4个数分类：

11

33222433??????(1)负数：?－?；(2)大于1的数：??，2；(3)大于0且小于1的数：??. ?3??3??4?

1

x312

44??33??x(2)中，??<2<2 (也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝??，y＝2的图象，再分别取

?3??3?

1

3

x＝，x＝，比较对应函数值的大小，如图)，

1323

?2??3?故有?－?

3

12

2?4?3

13

利用指数函数的单调性解不等式

3x－1

?1? (1)解不等式???2?

2

≤2；

x－3x＋1x＋6

(2)已知a0，a≠1)，求x的取值范围.

【导学号：37102244】

－1

1?1?3x－1?1?－1??[解] (1)∵2＝??，∴原不等式可以转化为??≤??. ?2??2??2?

?1?∵y＝??在R上是减函数，

?2?

∴3x－1≥－1，∴x≥0， 故原不等式的解集是{x|x≥0}． (2)分情况讨论：

①当00，a≠1)在R上是减函数， ∴x－3x＋1>x＋6，∴x－4x－5>0， 根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>5；

- 2 -

2

2

xx②当a>1时，函数f(x)＝a(a>0，a≠1)在R上是增函数， ∴x－3x＋1

综上所述，当05；当a>1时，－1

[规律方法] 2

2

x [跟踪训练]

x＋1?1?2．若a>??

5－3x?a?

x＋1

(a>0且a≠1)，求x的取值范围．

[解] 因为a?1?>??a??

xx5－3x，所以ax＋1

>a3x－5

，

当a>1时，y＝a为增函数，可得x＋1>3x－5，所以x<3； 当03.

综上，当a>1时，x的取值范围为(－∞，3)；当0

指数型函数单调性的综合应用 [探究问题]

2

x－2x＋1

?1?1．函数f(x)＝???2?

t的单调区间是什么？

?1?2

提示：因为函数y＝??在(－∞，＋∞)上单调递减，函数t＝x－2x＋1在(－∞，1)上单调递减，

?2?

2

x－2x＋1

?1?在(1，＋∞)上单调递增，所以复合函数f(x)＝???2?

上单调递减．

2

在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)

2．函数y＝a－(a>0，且a≠1)的单调性与y＝－x的单调性存在怎样的关系？

- 3 -

x2