内容发布更新时间 : 2025/7/23 16:17:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
专题突破练(2) 利用导数研究不等式与方程的根
一、选择题
1．(2019·佛山质检)设函数f(x)＝x－3x＋2x，若x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)＝f(x)－λx的两个极值点，现给出如下结论：
①若－1＜λ＜0，则f(x1)＜f(x2)；②若0＜λ＜2，则f(x1)＜f(x2)；③若λ＞2，则
3
2
f(x1)＜f(x2)．
其中正确结论的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 答案 B
解析 依题意，x1，x2(x1
3等价于(x1－x2)[(x1＋x2)－3(x1＋x2)－x1x2＋2]<0，因为x1
－x1x2＋2＝－>0，解得λ>2．从而可知③正确．故选B．
3
3ax2．(2018·乌鲁木齐一诊)设函数f(x)＝ex＋－3－，若不等式f(x)≤0有正实数解，
2
2
2
xx则实数a的最小值为( )
A．3 B．2 C．e D．e 答案 D
3ax2x2解析 因为f(x)＝ex＋－3－≤0有正实数解，所以a≥(x－3x＋3)e，令g(x)＝(x2
xx－3x＋3)e，则g′(x)＝(2x－3)e＋(x－3x＋3)e＝x(x－1)e，所以当x>1时，g′(x)>0；当0
eee
3．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
364964A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 答案 C
exe?x－2?
解析 构造函数f(x)＝2，则a＝f(6)，b＝f(7)，c＝f(8)，f′(x)＝，当x>24
xx6
7
8
xx2xxxx时，f′(x)>0，所以f(x)在(2，＋∞)上单调递增，故f(8)>f(7)>f(6)，即c>b>a．故选C．
4．(2018·合肥质检二)已知函数f(x)是定义在R上的增函数，f(x)＋2＞f′(x)，f(0)＝1，则不等式ln (f(x)＋2)－ln 3＞x的解集为( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
1
答案 A
解析 构造函数g(x)＝
f?x?＋2
e
x，则g′(x)＝
f′?x?－?f?x?＋2?
e
ln
x＜0，则g(x)在R上单调递减，且g(0)＝
＞e，即
xf?0?＋2
e
0
＝3．从而原不等式
f?x?＋2
3
＞x可化为
f?x?＋2
3
f?x?＋2
e
x＞3，即g(x)＞g(0)，从而由函数g(x)的单调
性，知x＜0．故选A．
5．(2018·郑州质检一)若对于任意的正实数x，y都有2x－ln ≤成立，则实数mexme的取值范围为( )
1111A．，1 B．2，1 C．2，e D．0， eeee答案 D
yyxyyxeyy1y解析 因为x>0，y>0，2x－ln ≤，所以两边同时乘以，可得2e－ln ≤，令exmexxxmx12e
＝t(t>0)，令f(t)＝(2e－t)·ln t(t>0)，则f′(t)＝－ln t＋(2e－t)·＝－ln t＋－
tt2e12e1．令g(t)＝－ln t＋－1(t>0)，则g′(t)＝－－2<0，因此g(t)即f′(t)在(0，＋∞)
ttt上单调递减，又f′(e)＝0，所以函数f(t)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，11
因此f(t)max＝f(e)＝(2e－e)ln e＝e，所以e≤，得0
me
6．(2018·郑州质检三)已知函数f(x)＝a＋x－xln a，对任意的x1，x2∈[0，1]，不等式|f(x1)－f(x2)|≤a－2恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．[e，＋∞) B．[e，＋∞) C．[2，e] D．[e，e] 答案 A
解析 f′(x)＝aln a＋2x－ln a，令g(x)＝aln a＋2x－ln a，则g′(x)＝a(ln a)
0
2
2
x2
xxx2
＋2>0，所以函数g(x)在[0，1]上单调递增，所以g(x)≥g(0)＝a×ln a＋2×0－ln a＝0，即f′(x)≥0，则函数f(x)在[0，1]上单调递增，所以|f(x1)－f(x2)|≤f(1)－f(0)＝a－ln
a≤a－2，解得a≥e2．故选A．
二、填空题
7．若函数f(x)＝x－3x＋a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________． 答案 (－2，2)
解析 由f(x)＝x－3x＋a，得f′(x)＝3x－3，当f′(x)＝0时，x＝±1，易知f(x)的极大值为f(－1)＝2＋a，f(x)的极小值为f(1)＝a－2，要使函数f(x)＝x－3x＋a有三
2
3
3
2
3
个不同的零点，则有f(－1)＝2＋a>0，且f(1)＝a－2<0，即－2
8．若不等式2(x－a)>1在(0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围是________． 答案 (－∞，－1]
解析 不等式2(x－a)>1在(0，＋∞)上恒成立，即a
x－xxf(x)＝x－2－x(x>0)，则f′(x)＝1＋2－xln 2>0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)>f(0)＝－1，所以a≤－1，即a∈(－∞，－1]．
三、解答题
9．(2018·合肥质检二)已知函数f(x)＝(x－1)e－ax(e是自然对数的底数，a∈R)． (1)讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由； (2)若?x>0，f(x)＋e≥x＋x，求a的取值范围． 解 (1)f(x)的定义域为R，
x3
x2
f′(x)＝xex－2ax＝x(ex－2a)．
当a≤0时，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)有1个极值点；
1
当0
2在(ln 2a，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴f(x)有2个极值点；
1
当a＝时，f(x)在R上单调递增，∴f(x)没有极值点；
21
当a>时，f(x)在(－∞，0)上单调递增，
2
在(0，ln 2a)上单调递减，在(ln 2a，＋∞)上单调递增， ∴f(x)有2个极值点；
综上所述，当a≤0时，f(x)有1个极值点； 1
当a>0且a≠时，f(x)有2个极值点；
21
当a＝时，f(x)没有极值点．
2
(2)由f(x)＋e≥x＋x，得xe－x－ax－x≥0， 当x>0时，e－x－ax－1≥0， e－x－1即a≤对?x>0恒成立，
x2
x3x32
x2
xxe－x－1设g(x)＝(x>0)，
2
x 3