内容发布更新时间 : 2025/7/25 1:14:23星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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第( 1)题求 P、Q两点间距离的最大值,可以用代数计算说理的方法: ① 如图 8,当点 Q在 AB上时, PQ=
QH 2 PH 2 = ( 6 t )
2
5
( 8 t 5
t)
2
= 3
5t .
5
当 Q与 B重合时, PQ最大,此时 t = 5,PQ的最大值为 3 5 .
② 如图 9,当点 Q在 BC上时, PQ=
CQ2 CP2 = (2CP)2 CP2 =
5(8 t) .
当 Q与 B重合时, PQ最大,此时 t = 5,PQ的最大值为 3 5 . 综上所述, PQ的最大值为 3 5 .
图8
图9
§1. 3 因动点产生的直角三角形问题
课前导学
我们先看三个问题:
ABC有多少个?顶点 C的轨迹是
1.已知线段 AB,以线段 AB为直角边的直角三角形
么?
什
2.已知线段 AB,以线段 AB为斜边的直角三角形 ABC有多少个?顶点 C的轨迹是什么? 3.已知点 (4,0) ,如果△ 是等腰直角三角形,求符合条件的点 的坐标.
A OAB
B
图 1
如图 1,点
图 2
2,点
图 3
在垂线上,垂足除外.如图 在以 为直径的圆上, 、 两点除
A B C C AB
外.如图 3,以 OA为边画两个正方形,除了 O、A 两点以外的顶点和正方形对角线的交点,都是符合题意的点 B,共 6 个.
解直角三角形的存在性问题,一般分三步走,
第一步寻找分类标准,第二步列方程,第
三步解方程并验根.
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一般情况下,按照直角顶点或者斜边分类,然后按照三角比或勾股定理列方程.
有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便.
解直角三角形的问题,常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起.
如果直角边与坐标轴不平行, 那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线,
可以构造两个新
的相似直角三角形,这样列比例方程比较简便.
如图 4,已知 A(3, 0)
, B(1, - 4) ,如果直角三角形 ABC的
顶点 C在 y 轴上,求点 C的坐标.
我们可以用几何的方法,作
AB为直径的圆,快速找到两个
符合条件的点 C.
如果作 BD⊥ y 轴于 D,那么△ AOC∽△ CDB.
设 OC= m,那么
3 4 m
1
m
.
这 个 方 程 有 两 个 解 , 分 别 对 应 图 中 圆 与
y 轴 的 两 个 交
图 4
点.
例 19
2015
1年湖南省益阳市中考第
: =
2
21 题
2
如图 1,已知抛物线
经过点 (1, ) ,以原点为顶点的抛物线 经过点
(2,2) ,
E y x A m E
B
点 、 关于
轴的对称点分别为点′、 ′.
A B
y A B
( 1)求 m的值及抛物线 E2 所表示的二次函数的表达式;
( 2)如图 1,在第一象限内,抛物线 E1 上是否存在点 Q,使得以点 Q、B、B′为顶点的 三角形为直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
( 3)如图 2,P 为第一象限内的抛物线 E1 上与点 A 不重合的一点,连结 OP并延长与抛 物线 E2 相交于点 P′,求△ PAA′与△ P′ BB′的面积之比.
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图1
图2
动感体验
请打开几何画板文件名“
15 益阳 21”,拖动点 P在抛物线 E1 上运动,可以体验到,点 P
QBB′有两个.
始终是线段 OP′的中点.还可以体验到,直角三角形
思路点拨
1.判断点 P 是线段 OP′的中点是解决问题的突破口, 这样就可以用一个字母表示点
P、
P′的坐标.
2.分别求线段 AA′∶ BB′,点 P 到 AA′的距离 ∶ 点 P′到 BB′的距离,就可以比较
△PAA′与△ P′ BB′的面积之比.
图文解析
( 1)当 =1 时, =
2
= 1,所以
2
(1, 1) , =1.
x
y
x
A
m
1 2
设抛物线 E2 的表达式为 y= ax ,代入点 B(2,2) ,可得 a= .所以 y= x .
2 2
( 2)点 Q在第一象限内的抛物线 E1 上,直角三角形 QBB′存在两种情况:
1
图3
图4
① 如图 3,过点 B 作 ′的垂线交抛物线 E 于 ,那么 (2, 4)
.
1
② 如图 4,以 ′为直径的圆
D 与抛物线 E 交于点 ,那么
=
1 2
BB =2.
1
2
2
2
2 2
设 Q( x, x ) ,因为 D(0, 2) ,根据 QD= 4 列方程 x + ( x - 2) = 4 . 解得 x=
.此时 Q
.
b ) ,′ ( c,
2
( 3,3)
( 3)如图 5,因为点 P、P′分别在抛物线 E 、E 上,设 P( b,
1
2
3
1 2
2 ) .
2
因为 、 、 ′三点在同一条直线上,所以
O P
P
PM OM
P N ,即 b
b ON
1 c2
2
c .
所以 c= 2b.所以 P′ (2 b, 2 b2) . 如图 6,由 A(1, 1)
2
2
、 B(2,2) ,可得 AA′= 2, BB′= 4.
由 A(1, 1) 、 P( b, b ) ,可得点 P 到直线 AA′的距离 PM ′= b -1.
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由 B(2,2) 、 P′(2 b, 2 b2) ,可得点 P′到直线 BB′的距离 P′ N′= 2b2- 2. 所以△ PAA′与△ P′ BB′的面积比= 2( b2- 1) ∶4(2 b2- 2) = 1∶ 4.
图5
图6
考点延伸
第( 2)中当∠ BQB′= 90°时,求点Q( x,
2
2
2
x2) 的坐标有三种常用的方法:
方法二,由勾股定理,得 BQ+B′ Q=B′B.
所以 ( x- 2) 2+ ( x2- 2) 2+ ( x+ 2) 2+ ( x2- 2) 2= 42.
方法三,作 QH⊥ B′ B 于 H,那么 QH= B′ H·BH. 所以 ( x2-2) 2= ( x+ 2) (2 - x) .
2
例 20
2015
年湖南省湘潭市中考第 26 题
+
的图象与
轴交于
如图 1,二次函数
交于点 ,连结
.动点
= 2+ ( -1, 0) 、 (3, 0) 两点,与 轴
y x
BC
bx c x A
B
y
以每秒 1 个单位长度的速度从点 向点 运动,动点 以每秒
C
个单位长度的速度从点
P A B Q 2
B 向点 C运动, P、Q两点同时出发, 连结 PQ,当点 Q到达点 C时,
P、
Q两点同时停止运动.设运动的时间为
( 1)求二次函数的解析式;
t 秒.
( 2)如图 1,当△ BPQ为直角三角形时,求
t 的值;
( 3)如图 2,当 t < 2 时,延长 QP交 y 轴于点 M,在抛物线上是否存在一点 的中点恰为 MN的中点,若存在,求出点
N,使得 PQ
N的坐标与 t 的值;若不存在,请说明理由.
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