第十届东南数学奥林匹克解?/p>
第一?/p>
(2013
?/p>
7
?/p>
27
?/p>
上午
8
?/p>
00
?/p>
12
?/p>
00)
江西
鹰潭
1.
实数
,
a
b
使得方程
3
2
0
x
ax
bx
a
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
有三个正实根?/p>
?/p>
3
2
3
3
1
a
ab
a
b
?/p>
?/p>
?/p>

?/p>
最小值.
(杨晓鸣提供?/p>
?/p>
设方?/p>
3
2
0
x
ax
bx
a
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
的三个正实根分别?/p>
1
2
3
,
,
x
x
x
,则由根与系
数的关系可得
1
2
3
1
2
2
3
1
3
1
2
3
,
,
x
x
x
a
x
x
x
x
x
x
b
x
x
x
a
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
0,
0
a
b
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
2
1
2
3
1
2
2
3
1
3
(
)
3(
)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
知:
2
3
a
b
?/p>
?/p>
又由
3
3
1
2
3
1
2
3
3
3
a
x
x
x
x
x
x
a
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
知:
3
3
a
?/p>
.因?/p>
3
2
3
3
1
a
ab
a
b
?/p>
?/p>
?/p>
2
3
(
3
)
3
1
a
a
b
a
a
b
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
3
3
2
3
3
3
9
3
1
1
3
a
a
a
a
a
a
b
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
3
3,
9
a
b
?/p>
?/p>
,即方程三个根均?/p>
3
时等号成立.
综上所述,所求的最小值为
9
3
?/p>
2.
如图,在
ABC
?/p>
中,
AB
AC
?/p>
,内切圆
I
?/p>
BC
边切于点
D
?/p>
AD
交内?/p>
?/p>
I
于另一?/p>
E
?/p>
?/p>
I
的切?/p>
EP
?/p>
BC
的延长线于点
P
?/p>
CF
平行
PE
?/p>
AD
于点
F
,直?/p>
BF
交圆
I
于点
,
M
N
,点
M
在线?/p>
BF
上,线段
PM
与圆
I
交于另一
?/p>
Q
.证明:
ENP
ENQ
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
(张鹏程提供?/p>
证法
1
设圆
I
?/p>
,
AC
AB
分别切于?/p>
,
S
T
联结
,
,
ST
AI
IT
,设
ST
?/p>
AI
?/p>
于点
G
?/p>
?/p>
,
IT
AT
TG
AI
?/p>
?/p>
?/p>
从而有
2
AG
AI
AT
AD
AE
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
所?/p>
,
,
,
I
G
E
D
四点共圆?/p>
?/p>
,
IE
PE
ID
PD
?/p>
?/p>
?/p>
所?/p>
,
,
,
I
E
P
D
?/p>
点共圆,从?/p>
,
,
,
,
I
G
E
P
D
五点共圆?/p>
所?/p>
90
IGP
IEP
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
o
,即
IG
PG
?/p>
?