新课标人?/p>
A
版高中数学必修五典题精讲?/p>
3.4
基本不等式)
典题精讲
?/p>
1
?/p>
1
)已?/p>
0
?/p>
x
?/p>
3
1
,求函数
y=x(1-3x)
的最大?/p>
;
?/p>
2
)求函数
y=x+
x
1
的值域
.
思路分析?/p>
?/p>
1
)由极值定?/p>
,
可知需构造某个和为定值,可考虑把括号内?/p>
x
的系数变成互为相?/p>
数;
?/p>
2
)中,未指出
x
?/p>
0
,因而不能直接使用基本不等式,需?/p>
x
?/p>
0
?/p>
x
?/p>
0
讨论
.
?/p>
1
)解法一:∵
0
?/p>
x
?
3
1
,
?/p>
1-3x
?/p>
0.
?/p>
y=x(1-3x)=
3
1
·
3x(1-
3x)?/p>
3
1
?/p>
2
)
3
1
(
3
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
2
=
12
1
,当且仅?/p>
3x=1-3x
,即
x=
6
1
时,等号?
?/p>
.
?/p>
x=
6
1
时,函数取得最大?/p>
12
1
.
解法二:?/p>
0
?/p>
x
?/p>
3
1
,
?/p>
3
1
-x
?/p>
0.
?/p>
y=x(1-3x)=3x(
3
1
-
x)?
?/p>
2
3
1
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
2
=
12
1
,当且仅?/p>
x=
3
1
-x,
?/p>
x=
6
1
时,等号成立
.
?/p>
x=
6
1
时,函数取得最大?/p>
12
1
.
?/p>
2
)解:当
x
?/p>
0
时,由基本不等式,得
y=x+
x
1
?
x
x
1
?/p>
=2
,当且仅?/p>
x=1
时,等号成立
.
?/p>
x
?/p>
0
时,
y=x+
x
1
=-
?/p>
(-x)+
)
(
1
x
?/p>
?/p>
.
?/p>
-x
?/p>
0,
?/p>
(-x)+
)
(
1
x
?/p>
?,
当且仅当
-x=
x
?/p>
1
,
?/p>
x=-1
时,等号成立
.
?/p>
y=x+
x
1
?/p>
-2.
综上
,
可知函数
y=x+
x
1
的值域?/p>
(-
?
-2
]∪?/p>
2,+?.
绿色通道?/p>
利用基本不等式求积的最大值,关键是构造和为定值,为使基本不等式成立创造条件,
同时要注意等号成立的条件是否具备
.
变式训练
1
?/p>
x
?/p>
-1
时,?/p>
f(x)=x+
1
1
?/p>
x
的最小?/p>
.
思路分析?/p>
x
?/p>
-1
?/p>
x+1
?/p>
0,
?/p>
x=x+1-1
?/p>
x+1
?/p>
1
1
?/p>
x
的积为常?/p>
.