1.
?/p>
?/p>
是数?/p>
P
上线性空?/p>
V
的线性变换且
?
,
证明
:
?/p>
1
?/p>
?/p>
的特征值为
1
?/p>
0
?/p>
?/p>
2
?
?/p>
?/p>
1
(0)
(
)
A
V
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
;
?/p>
3
?/p>
(0)
(
)
V
V
?
?
.
2.
已知
?/p>
?/p>
n
维欧氏空间的正交变换,证明:
?/p>
的不变子空间
W
的正交补
W
?/p>
也是
?
的不变子空间?/p>
3.
已知复系数矩?
?
A
1
2
3
4
0
1
2
3
0
0
1
2
0
0
0
1
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
1
?/p>
求矩?/p>
A
的行列式因子、不变因?
和初等因子;
?/p>
2
)若当标准形
.
?/p>
15
分)
4.
已知二次?
2
2
2
1
2
3
1
2
3
2
3
(
,
,
)
2
3
3
2
f
x
x
x
x
x
x
ax
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
(
0)
a
?/p>
通过?
个正交变换可化为标准?/p>
2
2
2
1
2
3
2
5
f
y
y
y
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
1
)写出二次型对应的矩?/p>
A
?/p>
A
的特征多项式,并确定
a
的值;
?/p>
2
)求出作用的正交变换
.
6.
?
A
?
n
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?
|
0
W
x
R
Ax
?
?/p>
?/p>
?
?/p>
?
|
(
)
0
W
x
R
A
E
x
?
?/p>
?/p>
?/p>
证明
A
为幂等矩阵,?/p>
R
W
W
?/p>
?/p>
.
7.
若设
W=
?/p>
?/p>
(
)
(1)
0,
(
)
[
]
f
x
f
f
x
R
x
?/p>
?/p>
,
证明?/p>
W
?
[
]
R
x
的子空间,并求出
W
的一组基及维?/p>
.
8.
?/p>
V
是一?/p>
n
维欧氏空间,
,
,
,
?
?/p>
?/p>
?/p>
V
中的正交向量组,?
?/p>
?/p>
(
,
)
0,
,
1,
2,
,
W
V
i
m
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
1
)证明:
W
?/p>
V
的一个子空间?/p>
?/p>
2
)证明:
?/p>
?/p>
,
,
,
W
L
?/p>
?/p>
?
?/p>
.
9.
试求矩阵
3
1
0
0
1
1
0
0
3
0
5
3
4
1
3
1
A
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
的特征多项式、最小多项式
.