内容发布更新时间 : 2025/7/9 18:15:37星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
故解得 d?b
2.12 一条扁平的直导体带，宽为2a，中心线与z轴重合，通过的电流为I。证明在第一象限内的磁感应强度为 Bx???0Ir2?0I，B?ln?y4?ar14?a细条带的电流dI? 式中
?、r1和r2如题2.12图所示。
y dB ?2 解 将导体带划分为无数个宽度为dx?的细条带，每一
P(x,y)
r2 ? r?R 1 1 ?a Ix a 题 2.12图
aIdx?。由安培环路定理，可得位于x?处2a的细条带的电流dI在点P(x,y)处的磁场为
?0Idx??0dI?0Idx? dB???4?a[(x?x?)2?y2]122?R4?aR?0Iydx? 则 dBx??dBsin???224?a[(x?x?)?y]?0I(x?x?)dx? dBy?dBcos??224?a[(x?x?)?y]所以
?x??x??0IBx?????arctan??4?a[(x?x?)2?y2]4?a?y??a?0Iydx?a?a?
?a?x???a?x???x?a??x?a???0I??0I???arctan??arctan???arctan???????arctan???? 4?a?4?a??y??y???y??y???I?I?0(?2??1)??0? 4?a4?aaa?0I(x?x?)dx??0I?0I(x?a)2?y2?0Ilnr2 22By????ln[(x?x?)?y]?ln?22224?ar1?4?a[(x?x)?y]8?a?a8?a(x?a)?y?a2.13 如题2.13图所示，有一个电矩为p1的电偶极子，位于坐标原点上，另一个电矩为p2的电偶极子，位于矢径为r的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为
Fr?3p1p2(sin?1sin?2cos??2cos?1cos?2) 44??0r式中?1??r,p1?，?2??r,p2?，?是两个平面(r,p1)和(r,p2)间的夹角。并问两个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大？
解 电偶极子p1在矢径为r的点上产生的电场为
z E1?13(p1gr)rp1[?3] 54??0rrp2?p1?1 r 2 所以p1与p2之间的相互作用能为
y
We??p2gE1??13(p1gr)(p2gr)p1gp2[?3] 4??0r5r x 因为?1??r,p1?，?2??r,p2?，则
p1gr?p1rcos?1
题 2.13图
p2gr?p2rcos?2
又因为?是两个平面(r,p1)和(r,p2)间的夹角，所以有
2 (r?p1)g(r?p2)?rp1p2sin?1sin?2cos?
另一方面，利用矢量恒等式可得
(r?p1)g(r?p2)?[(r?p1)?r]gp2?[r2p1?(rgp1)r]gp2?r2(p1gp2)?(rgp1)(rgp2)
因
此
1[(r?p1)g(r?p2)?(rgp1)(rgp2)]?p1p2sin?1sin?2cos??p1p2cos?1cos?2 2rp1p2(sin?1sin?2cos??2cos?1cos?2) 于是得到 We?4??0r3(p1gp2)?故两偶极子之间的相互作用力为
?W Fr??e?rq?const??p1p2d1(sin?1sin?2cos??2cos?1cos?2)()? 4??0drr33p1p2(sin?1sin?2cos??2cos?1cos?2)
4??0r4 由上式可见，当?1??2?0时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。
2.14 两平行无限长直线电流I1和I2，相距为d，求每根导线单位长度受到的安培力Fm。 解 无限长直线电流I1产生的磁场为 B1?e?1?0I1 2?r直线电流I2每单位长度受到的安培力为 Fm12?I2ez?B1dz??e120??0I1I2 2?d?0I1I2 2?d式中e12是由电流I1指向电流I2的单位矢量。
同理可得，直线电流I1每单位长度受到的安培力为 Fm21??Fm12?e122.15 一根通电流I1的无限长直导线和一个通电流I2的圆环在同一平面上，圆心与导线的距离为d，如题2.15图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为
Fm??0I1I2(sec??1) 这里?是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。
解 无限长直线电流I1产生的磁场为
z I1 B1?e??0I1 2?r圆环上的电流元I2dl2受到的安培力为
?0I1I2 2?x由题2.15图可知 dl2?(?exsin??ezcos?)ad?
x?d?acos?
2??0aI1I2(?ezsin??excos?)d?? 所以 Fm??2?(d?acos?)0dFm?I2dl2?B1?dl2?ey o ? d
a I2dl2
? x
题2.15图
?0aI1I22?d2??0aI1I22?cos??e(??)??ex?0I1I2(sec??1) ?exd??x?222?aa2?0(d?acos?)d?a2.16 证明在不均匀的电场中，某一电偶极子p绕坐标原点所受到的力矩为
r?(pg?)E?p?E。
解 如题2.16图所示，设p?qdl(dl??1)，则电偶极子p绕坐标原点所受到的力矩为
T?r2?qE(r2)?r1?qE(r1)?
dldldldl(r?)?qE(r?)?(r?)?qE(r?)?
2222dldlqdldlqr?[E(r?)?E(r?)]?dl?[E(r?)?E(r?)]
22222当dl??1时，有
dldlE(r?)?E(r)?(??)E(r)
22dldlE(r?)?E(r)?(??)E(r)
22故得到
z q r2 o x dl r r1 ?q T?r?(qdl??)E(r)?qdl?E(r)?
r?(pg?)E?p?E
y
题2.16 图