内容发布更新时间 : 2025/5/20 8:21:31星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数。 19. 求证
(a) ||x||??||x||1?n||x||?，
1(b)
n||A||F?||A||2?c2||A||Fn?n。
20. 设 P?Rn且非奇异，又设||x||为R上一向量范数，定义
||x||p?||Px||。
试证明
||x||p是Rn上的一种向量范数。
n?n21. 设A?R为对称正定阵，定义
||x||A?(Ax,x)1/2，
n试证明||x||A为R上向量的一种范数。 nT22. 设x?R,x?(x1x2,?,xn)，求证
lim(?||xi||p)1/p?maxxi?||x||?y??i?11?i?nn。
23. 证明：当且尽当x和y线性相关且xy?0时，才有
T||x?y||2?||x||2?||y||2。
24. 分别描述R中（画图）
2Sv?{x|||x||v?1,x?R2},(v?1,2,?)。
?是Rn（或Cn）上的任意一种范数，而P是任意非奇异实（或复）矩阵，定义范
?1数||x||??||Px||，证明||A||??||PAP||。
n?n26. 设||A||s,||A||t为R上任意两种矩阵算子范数，证明存在常数c1,c2?0，使对一切
25. 令
A?Rn?n满足
c1||A||s?||A||t?c2||A||s
TTn?nTT?(AA)??(AA)。 A?RAAAA27. 设，求证与特征值相等，即求证
28. 设A为非奇异矩阵，求证
||A||?y?0||y||||A?1||??。
?1?129. 设A为非奇异矩阵，且||A||||?A||?1，求证(A??A)存在且有估计
||?A||cond(A)||A?1?(A??A)?1||||A||?.?1||?A||||A||1?cond(A)||A||
1?min30. 矩阵第一行乘以一数，成为
?2?A???1证明当
??1??。
???23时，cond(A)?有最小值。
31. 设A为对称正定矩阵，且其分解为A?LDL?WW，其中W?D(a) cond(A)2?[cond(?)2];
Tcond(A)?cond(?)2cond(?)2. 2(b)
2TT1/2LT，求证
32. 设
?10099?A????9998?
计算A的条件数。cond(A)v(v?2,?)
33. 证明：如果A是正交阵，则cond(A)2?1。 34. 设A,B?Rn?n且
?为上矩阵的算子范数，证明
cond(AB)?cond(A)cond(B)。
第八章 解方程组的迭代法
1. 设方程组
(a) 考察用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性;
(k?1)(k)?4||x?x||?10?(b) 用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组,要求当时迭代
?5x1?2x2?x3??12???x1?4x2?2x3?20?2x?3x?10x?323?1
终止．
?00?A????20?, 证明:即使||A||1?||A||??1级数I?A?A2???Ak??也收敛． 2. 设
3. 证明对于任意选择的A, 序列
收敛于零．
４. 设方程组
111I,A,A2,A3,A4,?23!4!
迭代公式为
?a11x1?a12x2?b1;??a21x1?a22x2?b2; (a11,a12?0)