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《初等数论》习题解答（第三版）广东石油化工学院
又当??[0,1)时,f(?)?0?0?0,???R,f(?)?0，
即
?[??n]?[n?]。
i?0n?11[评注]：[证一]充分体现了 常规方法的特点，而[证二]则表现了较高的技巧。 3．设?，?是任意二实数，证明： (i) [?]?[?]?[???]或[???]?1 (ii) [2?]?[2?]?[?]?[???]?[?] 证明：（i）由高斯函数[x]的定义有
??[?]?r,??[?]?s,0?r?1;0?s?1。则
????[?]?[?]?r?sr,?s ?1 当r?s?0时,[???]?[?]?[?] 当r?s?0时,[???]?[?]?[?]?1
故 [???]?[?]?[?]或[???]?1?[?]?[?] （ii）设??[?]?x,??[?]?y,0?x,y?1， 则有0?x?y?{?}?{?}?2 下面分两个区间讨论：
①若0?x?y?1，则[x?y]?0，所以[???]?[?]?[?]，所以
[2?]?[2?]?[2[?]?2x]?[2[?]?2y]?2[?]?2[?]?2([x]?[y])?2[?]?2[?]?[?]?[?]?[?]?[?]?[?]?[???]?[?]
②若1?x?y?2，则[x?y]?1，所以[???]?[?]?[?]?1。 所以
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[2?]?[2?]?[2[?]?2x]?[2[?]?2y]?2[?]?2[?]?2([x]?[y])?2[?]?2[?]?2([x]?[1?x])x?1?y?????
?[?]?[?]?[?]?[?]?2?2([x]?[?x])?2[?]?2[?]?1?[?]?[???]?[?]（ii）（证法2）由于?，?对称，不妨设{?}?{?}
[2?]?[2?]?[2([?]?{?})]?[2([?]?{?})]
?2[?]?2[?]?[2{?}]?[2{?}]
?2[?]?2[?]?[{?}?{?}]
?[?]?[?]?([?]?[?]?[{?}?{?}]) ?[?]?[?]?[[?]?{?}?[?]?{?}]
?[?]?[???]?[?]
4. (i) 设函数错误！未找到引用源。在闭区间Q?x?R上是连续的，并且非负，证明:和式
表示平面区域Q?x?R，0?y?f(x)内的整点（整数坐标的点）的个数. (ii) 设p，q是两个互质的单正整数，证明：
(iii) 设错误！未找到引用源。，T 是区域错误！未找到引用源。 内的整点数，证明：
(iv) 设错误！未找到引用源。，T 是区域错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，
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错误！未找到引用源。 内的整点数，证明：
证明：(略)
5. 设错误！未找到引用源。任一正整数，且错误！未找到引用源。，p 是质数，错误！未找到引用源。，证明：在错误！未找到引用源。的标准分解式中，质因数p的指数是
其中错误！未找到引用源。.
证明：在错误！