内容发布更新时间 : 2026/9/20 20:14:06星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
tanα = l/h．
方法一：利用直角三角形．根据直角三角形得
v1 = v2sinθ + v3sinα，
其中v3 = v⊥/cosα，而v⊥ = v2cosθ， 因此v1 = v2sinθ + v2cosθsinα/cosα， 即 v1?v2(sin??l h θ lcos?)． 证毕． h v2 v1 方法二：利用正弦定理．根据正弦定理可得
v1v2， ?sin(???)sin(90???)sin(???)所以：v1?v2
cos?sin?cos??cos?sin??v2
cos?
图1.10
?v2(sin??cos?tan?)，
lcos?)． hα h v3 α θ v2 v⊥ l v1
即 v1?v2(sin??方法三：利用位移关系．将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量，在t时间内，雨滴的位移为
l = (v1 – v2sinθ)t， h = v2cosθ?t．
两式消去时间t即得所求． 证毕．
??vv2．1 一个重量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0运动，0的方向与斜面底
边的水平约AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道．
[解答]质点在斜上运动的加速度为a = gsinα，方向与初速度方向垂直．其运动方程为 x = v0t，
将t = x/v0，代入后一方程得质点的轨道方程为
第二章 运动定律与力学中的守恒定律
(一) 牛顿运动定律
y?121at?gsin??t222．
图2.1 这是抛物线方程．
2．2 桌上有一质量M = 1kg的平板，板上放一质量m = 2kg的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为μk = 0.25，静摩擦因素为μs = 0.30．求：
gsin?2y?x2v0，
v0 P A
α B ?F（1）今以水平力拉板，使两者一起以a = 1m·s-2的加速度运动，试计算物体与板、与桌面间的相
Nm fm
NM fM a 互作用力；
（2）要将板从物体下面抽出，至少需要多大的力？ [解答]（1）物体与板之间有正压力和摩擦力的作用．
板对物体的支持大小等于物体的重力：Nm = mg = 19.6(N)， 这也是板受物体的压力的大小，但压力方向相反．
物体受板摩擦力做加速运动，摩擦力的大小为：fm = ma = 2(N)， 这也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向也相反．
板受桌子的支持力大小等于其重力：NM = (m + M)g = 29.4(N)， 这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反．
板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为：fM = μkNM = 7.35(N)． 这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反．
（2）设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为a`的运动，物体的运动方程为 f =μsmg = ma`，
Nm 可得 a` =μsg．
f 板的运动方程为
a` F – f – μk(m + M)g = Ma`， NM 即 F = f + Ma` + μk(m + M)g
f F = (μs + μk)(m + M)g，
f ` 算得 F = 16.17(N)．
因此要将板从物体下面抽出，至少需要16.17N的力．
2．3 如图所示：已知F = 4N，m1 = 0.3kg，m2 = 0.2kg，两物体与水平面的的摩擦因素匀为0.2．求质量为m2的物体的加速度及绳子对它的拉力．（绳子和滑轮质量均不计）
[解答]利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为a2 = 2a1，而力的关系为T1 = 2T2． 对两物体列运动方程得
a1 T2 - μm2g = m2a2， T1 a2 m T2 F – T1 – μm1g = m1a1． m1 2 可以解得m2的加速度为 f2 f1 F??(m1?2m2)ga2?图2.3
-2m1/2?2m2= 4.78(m·s)，
绳对它的拉力为
T?m2(F??m1g/2)m1/2?2m2= 1.35(N)．
111??（1）它们串联起来时，总倔强系数k与k1和k2．满足关系关系式kk1k2； （2）它们并联起来时，总倔强系数k = k1 + k2．
k1 [解答]当力F将弹簧共拉长x时，有F = kx，其中k为总倔强系数．
两个弹簧分别拉长x1和x2，产生的弹力分别为 F1 = k1x1，F2 = k2x2． (a) （1）由于弹簧串联，所以F = F1 = F2，x = x1 + x2， k1
2．4 两根弹簧的倔强系数分别为k1和k2．求证：
k2 F F (b) 111FF1F2????k1k2，即：kk1k2． 因此 k k2 （2）由于弹簧并联，所以F = F1 + F2，x = x1 = x2，
图2.4 因此 kx = k1x1 + k2x2， 即：k = k1 + k2．
2．5 如图所示，质量为m的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线的方向（即摆线与竖直线的夹角θ）及线中的张力T．
（1）小车沿水平线作匀速运动；
?a（2）小车以加速度1沿水平方向运动；
（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成θ角；
?（4）用与斜面平行的加速度b1把小车沿斜面往上推（设b1 = b）；
?（5）以同样大小的加速度b2（b2 = b），将小车从斜面上推下来．
[解答]（1）小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力的作用，摆线偏角为零，线中张力为T = mg．
θ T mg ma 图（2.5 2） （2）小车在水平方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力．由于
tanθ = ma/mg， 所以 θ = arctan(a/g)；
2222T?(ma)?(mg)?ma?g绳子张力等于摆所受的拉力 ：．
（3）小车沿斜面自由滑下时，摆仍然受到重力和拉力，
合力沿斜面向下，所以θ = θ； T = mgcosθ．
（4）根据题意作力的矢量图，将竖直虚线延长， 与水平辅助线相交，可得一直角三角形，θ角的对边 是mbcosθ，邻边是mg + mbsinθ，由此可得：
tan??因此角度为
mbcos?mg?mbsin?，
??arctan而张力为
bcos?g?bsin?；
mb θ mg θ T T?(mb)2?(mg)2?2(mb)(mg)cos(π/2??)
θ （ 4） T θ mb mg θ 5） （?mb2?g2?2bgsin?．
（5）与上一问相比，加速度的
方向反向，只要将上一结果中的b改为-b就行了．
O l 2．6 如图所示：质量为m =0.10kg的小球，拴在长度l =0.5m的轻绳子的一端，
m 构成一个摆．摆动时，与竖直线的最大夹角为60°．求： θ （1）小球通过竖直位置时的速度为多少？此时绳的张力多大？ （2）在θ < 60°的任一位置时，求小球速度v与θ的关系式．这时小球的加速C B 度为多大？绳中的张力多大？ 图2.6 （3）在θ = 60°时，小球的加速度多大？绳的张力有多大？
[解答]（1）小球在运动中受到重力和绳子的拉力，由于小球沿圆弧运动，T 所以合力方向沿着圆弧的切线方向，即F = -mgsinθ，负号表示角度θ增加的方θ 向为正方向． ma 小球的运动方程为 O l mg d2s m θ F?ma?m2 θ T dt，
其中s表示弧长．由于s = Rθ = lθ，所以速度为 （ 3） C B dsd? mg v??l dtdt，
因此
F?mdvdvd?mdv?m?vdtd?dtld?，
即 vdv = -glsinθdθ， （1） 取积分
?vB0vdv??gl?sin?d?60?00，
12vB?glcos?2得
60?，解得：vB?gl= 2.21(m·s-1)．
22vBvBTB?mg?m?m?mgRl由于：，
所以TB = 2mg = 1.96(N)．
（2）由（1）式积分得
12vC?glcos??C2，
当 θ = 60o时，vC = 0，所以C = -lg/2，
因此速度为
vC?gl(2cos??1)．
切向加速度为at = gsinθ；法向加速度为
2vCan??g(2cos??1)R．
由于TC – mgcosθ = man，所以张力为TC = mgcosθ + man = mg(3cosθ – 1)． （3）当 θ = 60o时，切向加速度为
at?3g2= 8.49(m·s-2)，
法向加速度为 an = 0，
绳子的拉力T = mg/2 = 0.49(N)．
[注意]在学过机械能守恒定律之后，求解速率更方便．
2．7 小石块沿一弯曲光滑轨道上由静止滑下h高度时，它的速率多大？（要求用牛顿第二定律积分求解）
[解答]小石块在运动中受到重力和轨道的支持力，合力方向沿着曲线方向．设切线与竖直方向的夹角为θ，则
F = mgcosθ．
m 小球的运动方程为
d2sF?ma?m2dt，s表示弧长．
dsv?dt，所以 由于
dsddsdvdvdsdv?()???vdt2dtdtdtdsdtds，
因此 vdv = gcosθds = gdh，h表示石下落的高度．
2N h θ mg 图2.7
12v?gh?C2积分得 ，当h = 0时，v = 0，所以C = 0，
因此速率为 v?2gh．
2．8 质量为m的物体，最初静止于x0，在力处的速度大小v = [2k(1/x – 1/x0)/m]1/2．
[证明]当物体在直线上运动时，根据牛顿第二定律得方程
f??kx2(k为常数)作用下沿直线运动．证明物体在x
利用v = dx/dt，可得
kd2xf??2?ma?m2xdt
d2xdvdxdvdv???vdt2dtdtdxdx，
因此方程变为