内容发布更新时间 : 2025/6/19 8:46:12星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第一章 质点运动学
1．1 一质点沿直线运动，运动方程为x(t) = 6t2 - 2t3．试求： （1）第2s内的位移和平均速度；
（2）1s末及2s末的瞬时速度，第2s内的路程； （3）1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度．
[解答]（1）质点在第1s末的位置为：x(1) = 6×12 - 2×13 = 4(m)．
在第2s末的位置为：x(2) = 6×22 - 2×23 = 8(m)． 在第2s内的位移大小为：Δx = x(2) – x(1) = 4(m)，
经过的时间为Δt = 1s，所以平均速度大小为：v=Δx/Δt = 4(m·s-1)． （2）质点的瞬时速度大小为：v(t) = dx/dt = 12t - 6t2，
因此v(1) = 12×1 - 6×12 = 6(m·s-1)，
v(2) = 12×2 - 6×22 = 0
质点在第2s内的路程等于其位移的大小，即Δs = Δx = 4m． （3）质点的瞬时加速度大小为：a(t) = dv/dt = 12 - 12t，
因此1s末的瞬时加速度为：a(1) = 12 - 12×1 = 0，
第2s内的平均加速度为：a= [v(2) - v(1)]/Δt = [0 – 6]/1 = -6(m·s-2)．
[注意] 第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒．
1．2 一质点作匀加速直线运动，在t = 10s内走过路程s = 30m，而其速度增为n = 5倍．试证加速度为a?2(n?1)s，并由上述数据求出量值．
(n?1)t2[证明]依题意得vt = nvo，根据速度公式vt = vo + at，得
a = (n – 1)vo/t， (1)
根据速度与位移的关系式vt2 = vo2 + 2as，得 a = (n2 – 1)vo2/2s，(2) （1）平方之后除以（2）式证得：a?计算得加速度为：a?2(n?1)s．
(n?1)t22(5?1)30= 0.4(m·s-2)． 2(5?1)10
1．3 一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成22.5°的夹角的初速度65m·s-1从西边起跳，准确地落在坑的东边．已知东边比西边低70m，忽略空气阻力，且取g = 10m·s-2．问：
（1）矿坑有多宽？他飞越的时间多长？
（2）他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？ 22.5o [解答]方法一：分步法．
70m （1）夹角用θ表示，人和车（人）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为
图1.3 vy0 = v0sinθ = 24.87(m·s-1)．
取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式
vt - v0 = at，
这里的v0就是vy0，a = -g；当人达到最高点时，vt = 0，所以上升到最高点的时间为
t1 = vy0/g = 2.49(s)．
再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式：vt2 - v02 = 2as， 可得上升的最大高度为：h1 = vy02/2g = 30.94(m)．
人从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为;h2 = h1 + h = 100.94(m)． 根据自由落体运动公式s = gt2/2，得下落的时间为:t2?因此人飞越的时间为：t = t1 + t2 = 6.98(s)． 人飞越的水平速度为;vx0 = v0cosθ = 60.05(m·s-1)，
2h2= 4.49(s)． g所以矿坑的宽度为：x = vx0t = 419.19(m)．
（2）根据自由落体速度公式可得人落地的竖直速度大小为：vy = gt = 69.8(m·s-1)， 落地速度为：v = (vx2 + vy2)1/2 = 92