中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第7章课后习题详解

内容发布更新时间 : 2025/7/11 20:10:44星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

解:平行于向量a?{6,7,?6}的单位向量有和a同向和反向两个,

∴a0??a1676??{6,7,?6}??{, , ?} a11111136?49?36★★9.已知两点

M1(4,2,1),M2(3,0,2),计算向量M1M2的模、方向余弦、方向角。

知识点:向量的坐标表示及代数运算

解:根据向量模、方向余弦、方向角的计算公式可得:

M1M2?{?1 , ?2 , 1}?M1M2?1?2?1?2 , cos???1?2,cos??22cos??12?3????? , ?? , ??2343

,求向量a。

★★10.已知向量a的模为3,且其方向角????60,??45知识点:向量的坐标表示及相关概念

解:根据向量、向量的模、方向余弦之间的关系可得:

a?a{cos?,cos?,cos?}?3{cos★★11.设向量a的方向余弦分别满足

?3,cos??3323,cos}?{,,} 43222(1)cos??0,(2)cos??1,(3)cos??cos??0

问这些向量和坐标轴或坐标面的关系如何?

知识点:向量的方向余弦

解:(1)cos??0表示向量和x轴正向夹角为

(2)cos?(3)cos?于z轴

★12.已知

?,因此该向量和x轴垂直,或平行于yoz面 2?1表示向量和y轴正向夹角为零,因此该向量和y轴平行且方向相同 ?cos??0表示向量和x、y轴正向夹角都为

?,说明该向量和x、y轴都垂直,因此平行2r?4,r与轴?的夹角是60,求Prj?r。

知识点:向量在轴上的投影

解:根据投影公式Prj?r?rcos(r,μ)?2?

(2,?1,7),它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4,?4,7,求该向量的起★★13.一向量的终点为B点

A的坐标。

知识点:向量在坐标轴上的投影

解:∵向量的坐标分量即为它在x轴、y轴和z轴上的投影,设起点A为A(x,y,z),则:

AB?{2?x, ?1?y, 7?z}?{4, ?4, 7}?(x,y,z)?(?2, 3, 0)

★★14.求与向量a?{16,?15,12}平行,方向相反,且长度为75的向量b。

知识点:向量的坐标表示及代数运算

解:由条件可得:b??a,b长度为75,∴ ??162?152?122?75????3

∵b和a反向,∴???3?b??a={?48,45,?36},

习题7-3

★★1.设

a?3 , b?5,且两向量的夹角???/3,试求(a?2b)?(3a?2b)。

知识点:向量的数量积及其运算规律

解:根据数量积的运算规律:(a?2b)?(3a?2b)?3a?2a?b?6b?a?4b

22?3a?4a?b?4b22,∵a?b?abcos(a?b)? M3(3,1,3)?15?(a?2b)?(3a?2b)??103 2★★2.已知M1(1,?1, 2), M2(3,3,1),,求同时与M1M2 , M2M3垂直的单位向量

知识点:向量的向量积

解:∵由向量积性质:a?b?a, a?b?b,M1M2?{2,4,?1} , M2M3?{0,?2, 2}

i∴M1M2 ? M2M3j4k?1?6i?4j?4k为同时与M1M2 , M2M3垂直的向量 2{3,?2, ?2}??{317,?217 , ?217}

?20?2∴所求单位向量为?13?2?2222★3.设力

f?2i?3j?5k作用在一质点上,质点由M1(1,1,2)沿直线移动到M2(3,4,5),求此力

所做的功(设力的单位为

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