内容发布更新时间 : 2025/7/12 16:13:18星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
∴△AOB≌△BFD(AAS) ∴DF=BO=1,BF=AO=2, ∴D的坐标是(3,1),
(2)①根据题意,得a=﹣,c=0,且a×32+b×3+c=1, 解得:b=, ∴抛物线的解析式为y=
.
②∵点A(0,2),B(1,0),点C为线段AB的中点, ∴C(,1),
∵C、D两点的纵坐标都为1, ∴CD∥x轴, ∴∠BCD=∠ABO, ∴∠BAO与∠BCD互余,
要使得∠POB与∠BCD互余,则必须∠POB=∠BAO, 设P的坐标为(x,
),
(Ⅰ)当P在x轴的上方时,过P作PG⊥x轴于点G,如图2,
则tan∠POB=tan∠BAO,即,
∴,
解得:x1=0(舍去),∴
,
,
∴点P的坐标为().
(Ⅱ)当P在x轴的下方时,过P作PG⊥x轴于点G,如图3,
则tan∠POB=tan∠BAO,即,
∴,
解得:x1=0(舍去),∴
∴P点坐标为(
,
,
),
)或
,使得∠POB与∠BCD综上所述,在抛物线上是否存在点P(互余.
(3)如图4,∵D(3,1),E(1,1),
抛物线y=ax2+bx+c过点E、D,代入可得
,解得
∴y=ax2﹣4ax+3a+1. 分两种情况:
①当抛物线y=ax2+bx+c开口向下时,若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个,则点Q在x轴的上、下方各有两个.
(i)当点Q在x轴的下方时,直线OQ与抛物线有两个交点,满足条件的Q有2个; (ii)当点Q在x轴的上方时,要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点,抛物线
,
y=ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上,与y轴的交点在y轴的负半轴,
∴3a+1<0,解得a<﹣;
②当抛物线y=ax2+bx+c开口向上时,点Q在x轴的上、下方各有两个,
(i)当点Q在x轴的上方时,直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点,符合条件的点Q有两个;
(ii)当点Q在x轴的下方时,要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点,符合条件的点Q有两个.
根据(2)可知,要使得∠QOB与∠BCD互余,则必须∠QOB=∠BAO, ∴
设Q(2a,﹣a)在直线OQ上, 设直线OQ的解析式为y=kx, ∴k=﹣,
则直线OQ的解析式为y=﹣x,要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点, ∴方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣x有两个不相等的实数根, ∴整理得:解得:
或
,
(舍去),
.
, ,
综上所示,a的取值范围为a<﹣或23.解:(1)抛物线的表达式为:y=ax2, 将点A坐标代入上式得:=a(2故抛物线的表达式为:y=x2;
)2,解得:a=,
(2)将抛物线的表达式与直线y=kx+1联立并整理得:
x2﹣4kx﹣4=0,
则x1+x2=4k,x1x2=﹣4, 则y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2, 则x2﹣x1=
=4
,
设直线BC的倾斜角为α,则tanα=k,则cosα=,
则BC==4(k2+1),BC=2k2+2,
设BC的中点为M(2k,2k2+1),则点M到直线l的距离为:2k2+2, 故直线l总是与以BC为直径的圆相切;
(3)①设点P(m, m2)、点M(m,