内容发布更新时间 : 2025/6/21 2:10:36星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
dim?【】e和cosm?对算符d?是否为本征函数若是，求出本征值。
dim?ie?ieim?im?解：d?，im??me
idim?所以，e是算符d?的本征函数，本征值为?m。
dicosm??i??sinm??gm??imsinm??ccosm?而d?
id所以cosm?不是算符d?的本征函数。
i
【】证明在一维势箱中运动的粒子的各个波函数互相正交。
证：在长度为l的一维势箱中运动的粒子的波函数为：
?n?x??2n?xsinll 0?x?1 n=1，2，3，……
令n和n’表示不同的量子数，积分：
???x???x?d???nn'00lll2n?x2n'?xsingsindxllll2n?xn'?x??singsindxl0ll??n?n'??n?n'????xsinx??sin2?ll???''l?n?n??n?n?????2??2??ll??0??n?n'??n?n'???xsin?sinll???'??n?n??n?n'??????sin?n?n'???x?????0ll?n?n??
n和n皆为正整数，因而?n?n?和?n?n?皆为正整数，所以积分：
''?n?n'??n'?sin?n?n'??''???x???x?d??0n0l根据定义，n??和n'??互相正交。
【】已知在一维势箱中粒子的归一化波函数为
?x?x
2n?xsinll n?1,2,3???
0?x?l?，求粒子的能量，以及坐标、动量的平均
式中l是势箱的长度，x是粒子的坐标??n?x??值。
解：（1）将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量：
222hd2nπxhd2nπnπx?ψ(x)?-H(sin)?-(cos)n8π2mdx2ll8π2mdxlll
??2n?n?n?x??(?sin)28?mllll h2h2n2?22n?xn2h2??2?2?sin??n(x)28?mlll8ml 22nhE?8ml2 即：
??（2）由于x?n(x)?c?n(x),x无本征值，只能求粒子坐标的平均值：
*??l?22n?xn?x?*????dxx???n?x??x?n?x?dx???sinx??sin?000l?l??l?l?
x??2l2l?1?cos2n?l?2?n?x???xsin?dx?dx??0x??0ll2???l???
1?x2ll?2n?x?lll2n?x???0?sindx??xsin?0?l?22n??l?2n??0l? l?2
?x?n?x??c?n?x?,p?xpll??（3）由于
10无本征值。按下式计算px的平均值:
*?x?n?x?dxpx???n?x?p
??
2n?x?ihd?2n?xsin?sindx??0ll?2?dx?ll nihln?xn?x??2?sincosdx?00lll
1【】求一维势箱中粒子在?1和?2状态时，在箱中0.49l~0.51l范围内出现的概率，并与图1.3.2（b）相比较，讨论所得结果是否合理。
解：（a）
?1?x???2?x??2?x2?xsin?12?x??sin2ll ll
22?x22?x2sin?2x??sin2?ll ll
22?x????x?，并列表如下： 12由上述表达式计算和
x/l 0 2?1?1?x?/l 0 2?2?x?/l?1 0
1/8
5/8