内容发布更新时间 : 2025/6/22 0:33:24星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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?A′∪B=(A∪A′)∪B （∪的交换律） ?A′∪B=X∪B （互补律） ?A′∪B=Ｘ （零壹律）
方法三：因为A′?X且B?X，所以根据定理2的3?）就有A′∪B?Ｘ；
另一方面，由于B?A′∪B 及根据换质位律可得B′?A′?A′∪B，因此，由互补律及再次应用定理2的3?），可得X=B∪B′?A′∪B，即X?A′∪B；
所以，A′∪B=Ｘ。 (2)次证A′∪B=X?A∩B′=?；
A′∪B=X?(A′∪B)′=X′ （两边同时取补运算′）
?(A′)′∩B′=X′ （de Morgan律） ?A∩B′=X′ （反身律） ?A∩B′=X′ （零壹律）
(3)再证A∩B′=??A?B；
方法一：A=A∩X (零壹律)
=A∩(B∪B′) (互补律) =(A∩B)∪(A∩B′) (分配律) =(A∩B)∪? (条件A∩B′=?) =A∩B (零壹律) ?B （定理2的3)）
方法二：A∩B′=??B=B∪? (零壹律)
=B∪(A∩B′) （条件A∩B′=?） =(B∪A)∩(B∪B′) (分配律) =(A∪B)∩(B∪B′) (∪的交换律) =(A∪B)∩X (互补律) =A∪B (零壹律) ?A?B （定理4的2)）
10. 对于任意集合A，B，C，下列各式是否成立，为什么？
1） A∪B=A∪C?B=C 2） A∩B=A∩C?B=C
[解] 1）不一定。例如：A={a}，B={a，b}，C={b}。显然有
A∪B=A∪C，但B≠C。
2）不一定。例如：A={a}，B={a，b}，C={b，c}。显然有
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A∩B=A∩C，但B≠C。
11．设A，B为集合，给出下列等式成立的充分必要条件：
1） A\\B=B 2） A\\B=B\\A 3） A∩B=A∪B 4） A?B=A
[解] 1）A\\B=A∩B′，由假设可知A\\B=B，即A∩B′=B。由此可知B=A∩B′?B′，
故此B=B∩B′=?。
由假设可知A=A\\?=A\\B=B=?。所以当A\\B=B时有A=B=??。 反之，当A=B=?时，显然A\\B=B。 因此A\\B=B的充分必要条件是A=B=?。
2）设A\\B≠∈?，则有元素a∈A\\B，那么，a∈A，而由假设A\\B=B\\A。所以a∈B\\A，从而a?A，矛盾。所以A\\B=