内容发布更新时间 : 2025/5/21 10:35:50星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
解： 因I'(x)?则
lnxlnx2所以函数I(x)在区间[e,e]上单增，??0,x?[e,e2]，22x?2x?1(x?1)2e2e2lntlntImax(x)?I(e)??2dt??dtet?2t?1e(t?1)2e2e21lnte21???lntd???e?et(t?1)dtet?1t?1
lnte2e2?????ln|t?1|?ln|t|eet?112e2?1e??2?ln?lne?ln(e?1)?e?1e?1e?1e?17. 求定积分I?解：I??1?1(2x?|x|?1)2dx。
21?1?1?1(2x?|x|?1)dx??(5x2?4x|x|?4x?2|x|?1)dx
10?10??2?(5x2?2x?1)dx??x3?2x2?2x?0?3?1?22 3???x?a?2?2x8. 已知lim????a4xedx，求常数a的值。
x??x?a??x??2a?2a???lim?1?解： 左边?lim?1????x??x??x?a??x?a????xx?a2x????2axx?a?e?2a
右边????a?2xde2?2x??2xe?e?2a2?2x??a|??4xe?2xdx
a??
所以有e9. 计算
?2a?2x????2x2e?2x|??|a?e?2x|??a?2xea(2a?2a?1)2
?e?2a(2a2?2a?1)?a?0或a??1。 xe?xdx
(1?e?x)2?A??0AAxe?x1xA1dx?xd??解： ?0?01?e?x1?e?x?01?e?xdx 0(1?e?x)2xAxA??ln(1?e)001?e?x AAe??ln(1?eA)?ln2A1?e??Axe?xxe?xdx dx?lim?所以 ?0(1?e?x)2A???0(1?e?x)2 21
?AeA?A?lim??ln(1?e)?ln2?A???1?eA???Ae?e?lim?A?A??limln?ln2?ln2AA???!?eA???1?e??AA
10. 计算I????1dx。 1?x3?xe?e解： I????11?x??edxdx??2?2?21?x???e??earctane|?e 11?x3?x2(1?x)?14e?e1?e
四、证明题
1．假设函数f(x)在[a,b]上连续、在(a,b)内可导，且f'(x)?0。记
F(x)?证明在(a,b)内F'(x)?0。
1xf(t)dt ?ax?a证明：由f(x)在[a,b]上连续以及微积分基本定理，知F(x)在(a,b)内可导，且有
f(x)1F'(x)??x?a(x?a)2??xaf(t)dt1?1x?f(x)?f(t)dt ???ax?a?x?a?1?[f(x)?f(?)],??(a,x]?(a,b]x?a又因f'(x)?0，则在(a,b)内f(x)单调递减，所以有f(x)?f(?)，??(a,x]?(a,b]，而x?a?0，所以
F'(x)?0,x?(a,b)?(a,b]
2. 设f(x)在区间[0,1]上可微，且满足条件f(1)?2?120xf(x)dx。试证：存在??(0,1)，使
f(?)??f'(?)?0
证明：令F(x)?xf(x)，则显然F(x)在区间[0,1]上可微（也连续），且
,??[0,1F(1)?f(1)?2?xf(x)dx?2?f(?)?12]?[0,1] 2??f(?)?F(?)012因此，在区间[?,1]上据罗尔定理有，存在??(?,1)?(0,1)，使
F'(?)?0,即f(?)??f'(?)?0
3. 设f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且满足f(1)?k试证：存在?