内容发布更新时间 : 2025/10/15 1:39:59星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第八章 向量代数与空间解析几何（一）练习题
练习题1 证明:三点A,B,C共线的充分必要条件为:存在不全为零的数?,?,?,使得??????0,并且?OA??OB??OC?0,其中O是任意点.
参考证明:必要性. 若A,B,C共线?AB//AC ?存在实数?,使得AB??AC,即 OB?OA??OC?OA,亦即 (??1)OA?OB??OC?0.充分性. 若存在不全为零的数?,?,?使得??????0,并且 ?OA??OB??OC?0.将???(???)代入上式,得 ?OA?OC??OB?OC?0,即?CA??CB?0,由于?,?,?不全为零,因此?,?不全为零,故A,B,C共线.
??????练习:四点A,B,C,D共面的充分必要条件为:存在不全为零的数?,?,?,?,使得????????0,并且?OA??OB??OC??OD?0,其中O是任意点.练习题2 证明:对任意三个共面向量r1,r2,r3,有r1?r1 r1?r2 r1?r3 r2?r1 r2?r2 r2?r3?0.r3?r1 r3?r2 r3?r3
参考证明:三个向量r1,r2,r3共面的充分必要条件是存在不全为零的数?,?,?,使得 ?r1??r2??r3?0, (1)将r1,r2,r3分别与(1)式左右两端做内积,得??r1?r1??r1?r2??r1?r3?0?? ??r2?r1??r2?r2??r2?r3?0 (2)????r3?r1??r3?r2??r3?r3?0将(2)视为关于?,?,?的三线性齐次方程组,由于?,?,?不全为零,因此r1?r1 r1?r2 r1?r3 r2?r1 r2?r2 r2?r3?0.r3?r1 r3?r2 r3?r3
练习3 设a?i?j,b?j?k,c?k?i，试求a?b，a?b，a?(b?c)和(a?b)?c.
解：因为i,j,k是直角坐标系的三个单位向量，故i?i?j?j?k?k，1?i?j?j?k?k?i?0.因此，a?b?(i?j)?(j?k)?i?j?i?k?j?j?j?k?1.
当然，利用坐标表达式可得a?b?{1,1,0}?{0,1,1}?1.
同样，利用i?i?j?j?k?k?0，i?j?k,j?k?i,k?i?j，可知
a?b?(i?j)?(j?k)?i?j?i?k?j?j?j?k?k?j?i?{1,?1,1}. a?(b?c)?(i?j)?((j?k)?(k?i))?(i?j)?(j?k?j?i?k?k?k?i)
=(i?j)?(i?k?j)?i?i?i?k?i?j?j?i?j?k?j?j??k?j?i?k??i?j. 直接利用坐标表达式计算
ijka?b?(1,1,0)?(0,1,1)?110?i?j?k?{1,?1,1}.
011i1注意：a?(b?c)?(a?b)?c！
注：计算向量的内积、外积可直接利用坐标表达式的公式，或根据单位向量i,j,k的内积和外积的运算规律计算.
练习题4 已知三个单位向量a,b,c满足条件a?b?c?0，试求a?b?b?c?c?a之值，并证明a?b?b?c?c?a.
解：注意到
j0k1(a?b)?c?(1,?1,1)?(1,0,1)?1?11??i?k?{?1,0,1}.
a?b?c?(a?b?c)?(a?b?c)?a?a?b?b?c?c?2a?b?2b?c?2c?a 132222[a?b?c?(a?b?c)]??. 22因为a?b?c?0，两边与b作外积，得 a?b?b?b?c?b?0，即a?b?b?c.
同理，若两边与c作外积，就有c?a?b?c，于是a?b?b?c?c?a.
所以a?b?b?c?c?a?2练习证明:向量a与向量(a?c)b?(a?b)c和b?a?ba都垂直。 a?a练习题5 设S是?ABC的面积，p是?ABC的周长之半，试证： （1）正弦定理，即
abc； ??sinAsinBsinC（2）三角形面积的海伦公式：S?p(p?a)(p?b)(p?c)；
（3）如果A(1,?1,2),B(5,?6,2),C(1,3,?1)，试求?ABC的面积. 解：（1）由向量积的几何意义有
2?ABC=CA?CB=BA?BC=AB?AC， 即 absinC?acsin?Bbcsi，同时除以nAabc，
sinAsinBsinCabc即得，从而. ????abcsinAsinBsinC（2）根据内积的定义及余弦定理，有
1(a?b)2?(a2?b2?c2)2，于是
41112S2?a?b?(a2b2?(a2?b2?c2)2)
4441=(2ab?a2?b2?c2)(2ab?a2?b2?c2) 161=(a?b?c)(a?b?c)(c?a?b)(c?a?b) 16=p(p?a)(p?b)(p?c). 故S?p(p?a)(p?b)(p?c). （3）BA?(4,?5,0)，BC?(?4,9,?3)，BA?BC?(15,12,16)，故
BA?BC?152?122?162?25，?ABC=12.5.
3练习：用向量法证明三角形三条中线的长度的平方和等于三边长度的平方和的.4
练习题6 已知7a?5b与a?3b垂直，求cos?a,b?，其中a,ba?4b与7a?2b垂直，为非零向量.
解：利用两向量垂直的充要条件有
22?7a?16a?b?15b?0(7a?5b)?(a?3b)?0??，即?. ?22(a?4b)?(7a?2b)?0???7a?30a?b?8b?0两边除以ab，并令x?ab，y?a?b得 ab2?11?7x?16xy?15?0，解得xy?,x2?1，即x?1,y?. ?222??7x?30xy?8?0因此cos?a,b??a?b1??，故?a,b??. ab23练习：已知向量a,b,c两两的夹角为,且|a|?4,|b|?2,|c|?6,求向量p?a?b?c 的长度3
练习题7 已知向量a?{2,?3,6}和b?{?1,2,?2}有共同起点，c?342，试确定沿着向量a和b间夹角的平分线方向的向量c的坐标.
分析：所求向量c的模已知，关键是确定它的方向.向量a和b直接相加减，均得不到沿角平分线的向量，但由简单的几何知识可知，菱形的对角线平分两邻边之夹角.由此可考虑
00取a和b的单位向量a0和b0，则与c同向的向量c1?a?b必平分?a,b?.
?解：a0=
a11?{2,?3,6}?{2,?3,6}， a722?(?3)2?62b0=
b11?{?1,2,?2}?{?1,2,?2}. b3(?1)2?22?(?2)221?32621c1?a0?b0?{?,?,?}?{?1,5,4}，
73737321设c??c1?所以
?21{?1,5,4}，且??0，c?342，
?2212[(?1)2?52?42]?(342)2，由此得??63.
故c?{?3,15,12}.
00注：向量c1?a?b=
abab?ba表示向量a和b夹角的角平分线的方向. ??abab 练习题8 已知a?i,b?j?2k,c?2i?2j?k，求一单位向量?，使??c，且?与a,b共面.
解：设所求的向量?={x,y,z}，依题意??1,??c，?与a,b共面，可得
x2?y2?z2?1； （1）
??c?0，即2x?2y?z?0； （2）