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??31?y，0?y?1所以fY(y)??
0，其他????
?1?x?1?x?0?12．设连续型随机变量X的概率密度f(x)??1?x0?x?1，求E(X),D(X)。
?0其它?
由数学期望的性质与方差的性质
???213．设随机变量X的数学期望E(X)?0，且E?，X?1?2DX?1?????，求：E(X)
??解：由数学期望的性质与方差的性质，
由E?1?21?212?12?1X?1??E?X2??1=2，得E?X2?=6 ?2?21?1?1D?X?1??D?X?=，得D?X?=2
2?2?4E
2?X?=E?X2??D?X??6?2?4，又因为E?X??0，所以
E?X?=2.
14．设随机变量X和Y相互独立，且E(X)=E(Y)=1，D(X)=2，D(Y)=4，求：E(X?Y)2
E?X+Y?=E?X2+2XY+Y2?=E?X2?+2E?XY?+E?Y2?
2
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=D?X?+??E?X???+2E?X?E?Y?+D?Y?+??E?Y???=2+1+2?1?1+4+1=10 （注意：当X,Y独立时，才有E?XY?=E?X?E?Y?）
22
二维随机变量
?Cx2y15．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)???0x2?y?1其它
求：（1）确定常数C；（2）求边缘概率密度。 解：首先画出联合概率密度的非零区域（16-19题同）
（1）由
????+?+???f(x,y)dxdy??dx?2Cx2ydy?1， 得C??1x??1121 4（2）fX(x)?????1212?2124??x2xydy,?1?x?1?x?1?x?,?1?x?1f(x,y)dy??4=?8
??0,其他0,其他??fY(y)???????75?y212???yxydx,0?y?1?y2,0?y?1 f(x,y)dx??=?24??0,其他其他??0,
16．设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为
?4xy0?x?1,0?y?1， f(x,y)??其它?0（1） 求边缘密度函数fX(x),fY(y)；（2）问X与Y是否独立？（3）求P{Y?X2} 解：
（2）P{Y?X}=2y?x2??1f(x,y)dxdy??dx?4xydy? 0021x2
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?617．设二维随机变量(X,Y)的联合分布密度f(x,y)???0x2?y?x,0?x?1其它
分别求随机变量X和随机变量Y的边缘密度函数。
解： fX(x)??????x2???x26dy,0?x?1??6?x?x?,0?x?1 f(x,y)dy??=?0,其他?其他???0, fY(y)???????y6dx,0?y?1?6??f(x,y)dx???y=???其他??0,?y?y,0?y?10,其他?
?e-y18．设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)???0x?0,y?x其他
求（1）X、Y的边缘分布密度；（2）问X与Y是否独立
???y???xedy,解：（1）fX(x)??f(x,y)dy?????0,?y?y?????0edx, fY(y)??f(x,y)dx??????0,??x?0?e?x,x?0 =?其他?0,其他y?0?ye?y,y?0 =?其他其他?0,（２）当x?0,y?x时，联合概率密度为f(x,y