内容发布更新时间 : 2025/5/29 7:35:30星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第十一章：曲线积分与曲面积分
一、对弧长的曲线积分
?Lf(x,y)ds??f(x,y)d2x?d2y
L
若
?x?x(t) ??t?? L:?y?y(t)?则 原式=
??f(x(t),y(t))?L?x?2(t)?y?2(t)dt
L对弧长的曲线积分
f(x,y,z)ds??fx(t(),yt(z),t())d2x?d2y?d2z ?x?x(t)?若 L:?y?y(t) ??t??
?z?z(t)?则 原式=
???f(x(t),y(t),z(t))(x?(t))2x?(y?(t))2?(z?(t))2dt
常见的参数方程为：
?x?x y?y(x)?y?y(x)??x?x(y) x?x(y)??y?y2 ?x?2 ??y?y?x?x ??y?22
特别的：
?Lex2?y2ds??e2ds?e2?ds?e2.2?
LL
L为上半圆周x2?y2=2(y?0)
二、对坐标的曲线积分
?Lp(x,y)dx?q(x,y)dy
计算方法一： 若
?x?x(t) 起点处t??，终点处t?? 则 L:?y?y(t)?
原式=
??p(x(t),y(t))x?(t)dt?q(x(t),y(t))y?(t)dt?L? 对坐标的曲线积分
P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z) dz?x?x(t)? L:?y?y(t)?z?z(t)?? 原式=
起点处
t??，终点处t?? 则
??P(x(t),y(t),z(t))x?(t)dt?Q(x(t),y(t),z(t))y?(t)dt?R(x(t),y(t),z(t))z?(t)dt??L?L1
计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。
p(x,y)dx?q(x,y)dy??p(x,y)dx?q(x,y)dy
L1????(D如图：
?q?p?)dxdy??p(x,y)dx?q(x,y)dy
L1?x?yL L1
三、格林公式
??(D?q?p?)dxdy??x?y?Lp(x,y)dx?q(x,y)dy 其中L为D的正向边界
特别地：当
?q?p?时，积分与路径无关，
?x?y且
?(x2,y2)(x1,y1)p(x,y)dx?q(x,y)dy??p(x,y1)dx??q(x2,y)dy
x1y1x2y2
P(x,y)dx?Q(x,y)dy?dU(,x是某个函数的全微分)y??Q?P?
?x?y 注：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式。 四、对面积的曲面积分
1、 当曲面为
z?f(x,y)???(x,y,z)ds????(x,y,f(x,y))?Dxy1?fx2?fy2dxdy
2、 当曲面为
y?f(x,z)???(x,y,z)ds????(x,f(x,z),z)?Dxz1?fx2?fz2dxdz
3、 当曲面为
x?f(y,z)22?(x,y,z)ds??(f(y,z),y,z)1?f?fdydzyz?????Dyz
特别的：
??ds??面积。
?例：
??e?x2?y2?z2ds???e2ds