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华南师范大学1998年高代试题
a1?b1?xa1?b2?a2?b1a2?b2?x?一.计算行列式
???an?b1 二.设
a1?bna2?bn?
an?b2?an?bn?xf(x)?x3m?x3n?1?x3p?2, g(x)?x2?x?1,其中m,n,p为非负整数,
f(x)充要条件是m,n,p具有相同的奇偶性
则g(x)|?x1?x2?3x3?x4?0?3x?x?3x?4x?0?1234三.解线性方程组,找出基础解系,写出一般解?
?x1?5x2?9x3?8x4?0??2x1?2x2?5x4?0a11a12?a1ta21a22?a2t四.设m?n矩阵A?(aij)的最高阶非零子式为?0,证明这个子
????at1at2?att式所在的A的前t个行向量?1?2??t是A的行向量组的极大无关组 五.求多项式
f(x)?x6?7x4?8x3?7x?7和g(x)?3x5?7x3?3x2?7的最
大公因式(f,g)
六.已知两向量组?1,?2,?,?t与?1,?2,?,?t,?t?1,?,?s有相同的秩,证明
?1,?2,?,?t与?1,?2,?,?t,?t?1,?,?s等价
七.设A,B是n阶对称方阵,证明乘积AB对称的充要条件是A与B可交换
华南师范大学1999年高代试题
a1b1?xa1b2?a2b1a2b2?x?一.计算行列式D????anb1二.(1)设a?0,证明(x(2)设
ma1bna2bn?
anb2?anbn?x?am)|(xn?an)的充要条件是m|n
f(x),g(x),h(x)是数域F上的多项式,证明(f(x),g(x)h(x))?1的充要条
件是(f(x),g(x))?1且(f(x),h(x))?1
三.设A,B,C都是n阶矩阵,满足AC=CA,AD=CB和
证明n?秩(G)?2n
四.设T为有限维欧氏空间V的对称变换,证明TV是T五.用正交变换化二次型2x1
2??AB? A?0,令G????CD?(0)的中正交补
22为标准型 ?4x1x2?2x1x3?x2?4x2x3?2x3六.设V1,V2,?,Vn是是向量空间V的子空间,证明和空间V1?V2???Vn是直和的充
要条件是各子空间Vi(i?1,2,?,n)的基底合起来是和空间的基底
华南师范大学2000年高代试题
a?n一.计算行列式
a?(n?1)?a?2a?n??a?3??a?1a?2?
a?1?a?(n?2)a?(n?3)?a?na?(n?1)a?(n?1)a?(n?2)?a?1a?n二.(1)设
f(x),g(x)是两个不同时为0
的实系数多项式,证明:对于任意正整数n,
(f(x),g(x))n?(fn(x),gn(x))
(2)设a是一个实数,证明:多项式最多只有一个实根(不计重数) 三.设n阶矩阵
f(x)?xn?axn?1?a2xn?2???an?1x?anA满足A2?E,(E是n阶单位矩阵),证明:(1)A相似于形为
?Es?0?0?的矩阵,其中Es表示s阶单位矩阵;(2)对于任何正整数m,k,都??En?s?m有秩(A+E)四.设
设
+秩(A-E)k?n
f(x),g(x)为数域F的多项式,且有(f(x),g(x))?1,A是F上的一方阵, f(A)g(A)X?0,f(A)X?0,g(A)X?0的解空间分别是W,V1和V2,
证明W?V1?V2
2?2五.设实数域k上的全体2阶方阵构成的