内容发布更新时间 : 2025/7/27 1:14:07星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
联解得
?v??GM/a??bGM?vD?c?aa ?双曲线轨道能量
E?GMm?02a
GMm?02a 椭圆轨道
小结
E??E?0 抛物线轨道 GMmE??02a 双曲线轨道
以下举一个例子
质量为m的宇宙飞船绕地球中心0作圆周运动，已知地球半径为R，飞船轨道半径为2R。现要将飞船转移到另一个半径为4R的新轨道上，如图4-10-4所示，求 4R（1）转移所需的最少能量；
2R（2）如果转移是沿半椭圆双切轨道进行的，如图中的ACBR所示，则飞船在两条轨道的交接处A和B的速度变化?vA和?vB各为多少？
解: （1）宇宙飞船在2R轨道上绕地球运动时，万有引力提供向心力，令其速度为v1，乃有
AOBC图4-10-4
GMmmv1?22R (2R)故得
2
此时飞船的动能和引力势能分别为
v1?GM2R
Ek1?Ep11GMm2mv1?24R GMm??2R
GMm4R
所以飞船在2R轨道上的机械能为
E1?Ek1?Ep1??同理可得飞船在4R轨道上的机械能为
以两轨道上飞船所具有的机械能比较，知其机械能的增量即为实现轨道转移所需的最少能量，即
（2）由（1）已得飞船在2R轨道上运行的速度为
?E?E2?E1?GMm8R
同样可得飞船4R轨道上运行的速度为
v1?GM2R
第二定律可得
v2???v和v2。则由开普勒设飞船沿图示半椭圆轨道ACB运行时，在A、B两点的速度分别为1 v1?2R?v2?4R
又由于飞船沿此椭圆轨道的一半运行中机械能守恒，故应有
GM4R
??1GMm1GMm?2??2?mv1?mv222R24R
联立以上两式解之可得
2GMm3R 12GMm??v223R ??v1故得飞船在A、B两轨道交接处的速度变化量分别为
?4?GM???v1???vA?v1?1?3?2R?? ?2?GM????1??vB?v2?v2?3???4R
例如：三个钢球A、B、C由轻质的长为l的硬杆连接，竖立在水平面上，如图4-10-5所示。已知三球质量mA?2m，
BmB?mc?m，距离杆
a?52l8处有一面竖直墙。因受微小扰动，
两杆分别向两边滑动，使B球竖直位置下降。致使C球与墙面发生碰
AC a 图4-10-5
撞。设C球与墙面碰撞前后其速度大小不变，且所有摩擦不计，各球的直径都比l小很多，求B球落地瞬间三球的速度大小。
解：
（1）球碰墙前三球的位置
视A、B、C三者为一系统， A、C在水平面上滑动时，只要C不与墙面相碰，则此系统不受水平外力作用，此系统质心的水平坐标不发生变化。
B以图4-10-6表示C球刚好要碰墙前三球的位置，以a表示此
时BC杆与水平面间的夹角，则AB杆与水平面间的夹角也为
Ma，并令BA杆上的M点与系统质心的水平坐标相同，则应
vB有
mA?AMcosa?mB?MBcosa?mC?BCcosa
vA 图4-10-7 由上述知M点的水平坐标应与原来三秋所在的位置的水平坐标相同，故知此刻M点与右侧墙面的距离即为a，即M点与C球的水平距离为a，由此有MB?co