内容发布更新时间 : 2024/5/19 12:31:57星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

2017年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛初赛

参赛说明

1. 北京工业大学数学建模初赛试题共有三道（A、B、C），请选择你最熟悉的一道题目回答，不必做其他题目。

2. 请按规定的时间内上交试卷，过期无效。试卷要在用A4纸打印完成，手写无效。

3. 由于题目难度不可能完全相同，评审中将向难度较大的题目倾斜，请参赛选手在选题时加以考虑。

4. 尽管本次竞赛研究生和本科生均能参加，但在评分上两者的要求是不同的，在阅卷时将对研究生有更高的要求。

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2017年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛初赛

A题：计算机绘图与运动控制

计算机辅助绘图目前有着广泛应用，已成为计算机辅助设计的基础。本问题就是利用数学建模的方法研究计算机绘图以及运动控制的基本原理。 问题1：绘图。在计算机屏幕上随机地画4个点，分别为A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?和D?x4,y4?，利用这4个的信息绘制出一条曲线，其中A为曲线的起点，D为曲线的终点，B和C为控制点。曲线在起点A处，以BA方向为切线方向，在终点D处，以CD方向为切线方向。

?x?x?t?(1) 使用参数方程?但由于满足上述条件的曲线,0?t?1来描述这条曲线，

?y?y?t?有无穷条，请增加一些条件，使它表示一条曲线，并且具有形式简单（如多项式）、曲线光滑（如连续可微）和美观等特点。

(2) 根据你的模型写出由以下4点A?1,1?,B?1,3?,C?3,3?,D?2,2?构成曲线的参数方程，并有绘出这条曲线（同时在图上标注这4个点，和相应的切线）。 问题2：运动控制。计算机辅助设计有时需要对沿着指定的运动路径的空间位置

?x?x?t?进行精确的控制，而参数方程?,0?t?1给出的曲线一般是达不到这一效

??y?yt?果。简单地说，如果将参数t作n等分，而对应的曲线弧长并不是n等分的。例如，需要控制的曲线由下列参数方程表示

?x?t??0.5?0.3t?3.9t2?4.7t3,?23?y?t??1.5?0.3t?0.9t?2.7t0?t?1. (1-1)

113如果将参数t作4等分，即t?0,,,,1，而这些点对应的曲线弧长并不是4

424等分的（请大家绘图验证这一点）。你的任务是： (1) 给出将弧长作n等分的数学模型（或计算公式）；

(2) 使用你的模型（或计算公式），将参数方程(1-1)所绘出曲线的弧长4等分和10等分。绘出参数方程(1-1)的控制曲线，并标注出弧长4等分和10等分的等分点。

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2017年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛初赛

B题：护士工作时间的安排

某医院的心脑血管科需要制定护士的工作时间表。在心脑血管科的一个工作日分为12个两小时的时段，每个时段的人员要求不同。例如，在夜间只要求有很少几名护士就足够了，但在早晨为了给病人提供特殊报务，需要很多护士。表B1列出了每个时段的人员需求量。

表B1 每个时段的人员需求

编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

问题1：（1）为满足需求最少需要多少名护士？这里假定每位护士每天工作8小时，且在工作4小时后需要休息1小时。（2）如果满足需求的排班方案不止一种，请给出你认为最合理的排班方案，并说明其理由。

问题2：目前心脑血管科只有80名护士，如果这个数目不能满足指定的需求，只能考虑让部分护士加班。如果加班，每天加班的时间为2小时，且紧随在后一个4小时工作时段之后，中间没有休息。（1）请给出护士工作时间安排的方案，以使需要加班的护士数目最少。（2）如果排班（包括加班）的方案不止一种，请给出你认为最合理的排班和加班方案，并说明其理由。

时段 0:00——2:00 2:00——5:00 4:00——6:00 6:00——8:00 8:00——10:00 10:00——12:00 12:00——14:00 14:00——16:00 16:00——18:00 18:00——20:00 20:00——22:00 22:00——24:00

需要护士人数

15 15 15 35 40 40 40 30 31 35 30 20

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