内容发布更新时间 : 2024/5/17 16:17:25星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

3.5.2 简单线性规划

[学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．

[知识链接]

已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围．解答时容易错误地利用不等式中的加法法则，由原不等式组得到x，y的范围，再分别求出2x及－3y的范围，然后相加得2x－3y的取值范围．由于不等式中的加法法则不具有可逆性，从而使x，y的取值范围扩大，得出错误的2x－3y的取值范围．如果把1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3看作变量x，y满足的条件，把求2x－3y的取值范围看作在满足上述不等式的情况下，求z＝2x－3y的取值范围，就成了本节要研究的一个线性规划问题． [预习导引]

1．线性规划中的基本概念

名称 目标函数 约束条件 定义 要求最大值或最小值的函数，叫做目标函数 目标函数中的变量所要满足的不等式组 线性目标函数 如果目标函数是关于变量的一次函数，则称为线性目标函数 线性约束条件 如果目标函数是关于变量的一次不等式(或等式)，则称为线性约束条件 线性规划问题 最优解 可行解 可行域 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题 使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解 满足线性约束条件的解，叫做可行解 由所有可行解组成的集合叫做可行域 2.目标函数的最值 线性目标函数z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－x＋，在y轴上的截距是，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．

当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值； 当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值.

abzbzb

要点一 求线性目标函数的最值

x＋2y≤4，??

例1 已知关于x，y的二元一次不等式组?x－y≤1，

??x＋2≥0.

(1)求函数u＝3x－y的最大值和最小值； (2)求函数z＝x＋2y的最大值和最小值．

x＋2y≤4，??

解 (1)作出二元一次不等式组?x－y≤1，

??x＋2≥0.

表示的平面区域，如图(1)所示．

由u＝3x－y，得y＝3x－u，得到斜率为3，在y轴上的截距为－u，随u变化的一组平行线，由图(1)可知，当直线经过可行域上的C点时，截距－u最大，即u最小．

??x＋2y＝4，

解方程组?

?x＋2＝0，?

得C(－2,3)，

∴umin＝3×(－2)－3＝－9.

图(1)

当直线经过可行域上的B点时，截距－u最小，即u最大，

??x＋2y＝4，

解方程组?

?x－y＝1，?

得B(2,1)，∴umax＝3×2－1＝5.

∴u＝3x－y的最大值是5，最小值是－9.

x＋2y≤4，??

(2)作出二元一次不等式组?x－y≤1，

??x＋2≥0.

表示的平面区域，如图(2)所示．

图(2)

111

由z＝x＋2y，得y＝－x＋z，得到斜率为－，

2221

在y轴上的截距为z，随z变化的一组平行线．

2

1

由图(2)可知，当直线经过可行域上的A点时，截距z最小，即z最小，

2

??x－y＝1，

解方程组?

??x＋2＝0，

得A(－2，－3)，

∴zmin＝－2＋2×(－3)＝－8.

1

当直线与直线x＋2y＝4重合时，截距z最大，即z最大，

2∴zmax＝x＋2y＝4，∴z＝x＋2y的最大值是4，最小值是－8.

规律方法 图解法是解决线性规划问题的有效方法．其关键在于平移目标函数对应的直线

ax＋by＝0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点

即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取得最大值还是最小值． 5x＋3y≤15，??

跟踪演练1 已知x，y满足约束条件?y≤x＋1，

??x－5y≤3.5x＋3y≤15，??

解 由不等式组?y≤x＋1，

??x－5y≤3.

求z＝3x＋5y的最大值和最小值．

作出可行域，如图所示．

∵目标函数为z＝3x＋5y， ∴作直线l：3x＋5y＝0.