内容发布更新时间 : 2025/10/7 5:19:35星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

一、二次函数中的最值问题：

例1：在平面直角坐标系中，全等的两个三角形Rt⊿AOB与Rt A’OC’如图放置，点B、C’ 的坐标分别为（1，3），（0，1），BO 与A’ C’相交于D,若⊿A’OC’绕点O旋转90°至⊿AOC，如图所示（1）若抛物线过C、 A、A’，求此抛物线的解析式及对称轴；∴ y=-x2+2x+3

（2）、若点P是第一象限内抛物线线上的一动点，问P在何处时△AP A’的面积最大？最大面积是多少？并求出此时的点P的坐标。

（3）、设抛物线的顶点为N,在抛物线上是否存在点P,使△ A’AN与△ A’AP的面积相等?,若存在,

请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由。

例 2、（2012攀枝花）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A．C．D均在坐标轴上，

且AB=5，sinB=．

（1）求过A．C．D三点的抛物线的解析式；

（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；

（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A．E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．

2

解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；

Rt△OCD中，OC=CD?sinD=4，OD=3； OA=AD﹣OD=2，即： A（﹣2，0）、B（﹣5，4）、C（0，4）、D（3，0）； 设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣3），得： 2×（﹣3）a=4，a=﹣； ∴抛物线：y=﹣x+x+4．

（2）由A（﹣2，0）、B（﹣5，4）得直线AB：y1=﹣x﹣； 由（1）得：y2=﹣x+x+4，则：

22

，

解得：，；

由图可知：当y1＜y2时，﹣2＜x＜5． （3）∵S△APE=AE?h，

∴当P到直线AB的距离最远时，S△ABC最大；

若设直线L∥AB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P； 设直线L：y=﹣x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时， ﹣x+b=﹣x+x+4，且△=0；

2

求得：b=，即直线L：y=﹣x+；

可得点P（，）． 由（2）得：E（5，﹣则点F（

），则直线PE：y=﹣

；

×（

+）=．

．

x+9；新 课 标 第一网

，0），AF=OA+OF=

∴△PAE的最大值：S△PAE=S△PAF+S△AEF=×

综上所述，当P（，）时，△PAE的面积最大，为

针对训练：

2

1、（2013宜宾）如图，抛物线y1=x﹣1交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2，两条抛物线相交于点C． （1）请直接写出抛物线y2的解析式； （2）若点P是x轴上一动点，且满足∠CPA=∠OBA，求出所有满足条件的P点坐标；

（3）在第四象限内抛物线y2上，是否存在点Q，使得△QOC中OC边上的高h有最大值？若存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；若不存在，请说明理由．

解答：解：（1）抛物线y1=x﹣1向右平移4个单位的顶点坐标为（4，﹣1），

2

所以，抛物线y2的解析式为y2=（x﹣4）﹣1； （2）x=0时，y=﹣1，

y=0时，x﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣1， 所以，点A（1，0），B（0，﹣1）， ∴∠OBA=45°，

2

2

联立，

解得，

∴点C的坐标为（2，3）， ∵∠CPA=∠OBA，

∴点P在点A的左边时，坐标为（﹣1，0）， 在点A的右边时，坐标为（5，0），

所以，点P的坐标为（﹣1，0）或（5，0）； （3）存在． ∵点C（2，3）， ∴直线OC的解析式为y=x， 设与OC平行的直线y=x+b，

联立

2

，

消掉y得，2x﹣19x+30﹣2b=0，

当△=0，方程有两个相等的实数根时，△QOC中OC边上的高h有最大值， 此时x1=x2=×（﹣此时y=（

2

）=， ，

﹣4）﹣1=﹣

∴存在第四象限的点Q（

2

，﹣），使得△QOC中OC边上的高h有最大值，

此时△=19﹣4×2×（30﹣2b）=0， 解得b=﹣

，

，

∴过点Q与OC平行的直线解析式为y=x﹣令y=0，则x﹣

=0，解得x=

， ，0），

设直线与x轴的交点为E，则E（

过点C作CD⊥x轴于D，根据勾股定理，OC=则sin∠COD=解得h最大=

2、如图，抛物线y?ax?2=，

=×

=

，

．

3x?2(a?0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为2?4,0?.

（1）求抛物线的解析式；

（2）试探究?ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求?MBC的面积的最大值，并类型一、最值问题：

y

O BAx

C

M

类型一、最值问题：

（2013?泸州）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，﹣），已知抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过三点A、B、O（O为原点）． （1）求抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）

2

考点： 二次函数综合题． 分析： （1）直接将A、O、B三点坐标代入抛物线解析式的一般式，可求解析式； （2）因为点A，O关于对称轴对称，连接AB交对称轴于C点，C点即为所求，求直线AB的解析式，再根据C点的横坐标值，求纵坐标； （3）设P（x，y）（﹣2＜x＜0，y＜0），用割补法可表示△PAB的面积，根据面积表达式再求取最大值时，x的值． 2解答： 解：（1）将A（﹣2，0），B（1，﹣），O（0，0）三点的坐标代入y=ax+bx+c（a≠0）， 可得：，