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第十一章 线性算子的谱
1． 设X?C[0,1],(Ax)(t)?tx(t),x?X。证明?(A)?[0,1]，且其中没有特征值。 证明 当??[0,1]时，常值函数1不在?I?A的值域中，因此?I?A不是满射，这样
???(A)。
反之若??[0,1]，定义算子R?:R??1x(t)。则由于??[0,1]，且 ??tR?x?maxa?t?b11x(t)?x ??td(?,[0,1])因此R?是C[0，1]中有界线性算子。
易验证R?(?I?A)?(?I?A)R??I，所以???(A)。 总之?(A)?[0,1]，
若Af??f，则对任意t??，tf(t)??f(t)，可推得f(t)?0。由于f(t)?C[0,1]，必有f(t)?0，所以A无特征值。证毕。
2． 设X?C[0,2?],(Ax)(t)?ex(t),x?X.，证明
it?(A)?{???1}。
证明 对任意eit0it,(eit0I?A)x(t)?(eit0?eit)x(t)。因为常值函数1不在eI?A的值
0it域中，因此e0??(A)。这样{???1}??(A)。
反之，若
??1，定义R?:(R?x)(t)?1x(t)。类似第1题可证R?是有界线性算
??eit子，且R?(?I?A)?(?I?A)R??I。即???(A)。 因此?(A)?{???1}。证毕。 3． 设X?l,2Ax?A(x1,x2,xn,)?(x2,x3,xn,)，
试求?(A)。 解
对任意?，若
??1，定义x??(1?,?,n,，显然
x??l2,Ax??(?,?2,,?n,)??(1,?,,?n,)??x?，因此{???1}的内点都
是A的点谱，由于?(A)是闭集，则{???1}??(A)。
对任意x?A，显然Ax?x，因此A?1，所以?(A)?{???A}?{???1}。 这样我们就证明了?(A)?{???1}。
4． 设F是平面上无限有界闭集，{?n}是F的一稠密子集，在l中定义算子T：
2Tx?(x1,x2,xn,)?(?1x1,?nxn,)
则?n都是特征值，?(T)?F,F\\{?n}中每个点是T的连续谱。 证明 对任意n，en?(0,0,,1,0,)，其中1在第n个坐标上。由题设，Ten??nen，
因此?n是T的特征值。又由于?(T)是闭集，所以{?n}?F??(T)。 若??F，则d(?,F)?0。定义算子R?，若
x?(x1,x2,R?x?(xn,)?l2，
,1xn,)
???n11x1,x2,???1???2易验证R?x?1x，且R?(?I?T)?(?I?T)R??I。
d(?,F)因此?(T)?F。 若
??F?{?n}，且x?(x1,x2,x。则对任意n，?xn??nxn。xn,)?l2，使Tx??。这样x=0，因此?不是特征值，而是连续谱。证
由于???n，则xn?0，n?1,2,毕。
5． 设?为线性算子A的特征值，则?的n次根中至少有一个是算子A的特征值。
n?的n次根为?1,?2,证明 设?是A的特征值，
则(Annn存在x?0，使(A??,?n。Ix)0?，
??I)x?(A??1I)(A??2I)(A??nI)x?0。
若(A??1I)x?0，则?1就是A的特征值，否则必有某i，
(A??iI)(A??i?1I)而(A??i?1I)(A??iI)(A??1I)x?0，
(A??1I)x?0，
则?i?1是A的特征值。证毕。
6． 设A为Banach空间X上的有界线性算子，?0??(A)，又设{An}为X上一列有界线
性算子，且limAn?A?0，证明当n充分大后，An也以?0为正则点。
n??证明
?0I?An??0I?A?(An?A)
?(?0I?A)[I?(?0I?A)?1(An?A)]。
?1当n充分大时，(?0I?A)(An?A)?1，这样 I?(?0I?A)?1(An?A) 是可逆的。
此可逆性由本章§2定理1可证，又?0I?A也是可逆的。因此当n充分大后，?0I?An也可逆。证毕。
7． 设A是为Banach空间X上的有界线性算子，则当
??A时，
R??(A??I)???1n?0?An?n?1，R??1。
??AAnn证明 当
??A时幂级数
???n?01???收敛，因此级数
??n?0?Ann?1必按算子范数收敛。
(?I?A)?n?0An?n?1??n?0An?n?1(?I?A)??n?0?An?n??n?0?An?1?n?1?1
这就证明了(A??I)??1??An?Ann?1n?0?，
R????n?0Ann?1??n?0??n?1?1。 证毕。
??A8． 设A为X上的有界线性算子，?,???(A)，则
R??R??(???)R?R?。
其中与R?,R?的意义同第7题。
证明 在等式R??1?R??1?(?I?A)?(?I?A)两边左乘R?右乘R?得
R?(???)R??R?((?I?A)?(?I?A))R??R??R?。
因此R??R??(???)R?R?，证毕。
9． 设A是Hilbert空间H上的有界线性算子，A*为A的共轭算子，证明
?(A*)?{????(A)}??(A)
证明 先证若T是Hilbert空间H上的有界线性算子，若T可逆，则T*也可逆，且
(T*)?1?(T?1)*。
事实上，对任意x,y?H，?x,y???TT?1x,y???x,(T?1)*T*y?。这样
?1恒成立，进而?x,y?(T)*T*y??对0任意x?H成立，因此y?(T?1)*T*yT*(T?1)*?I。同理T*(T?1)*?I。这一证明了T*也可逆，且(T?1)*?(T*)?1。
现在设???(A)，则A??I可逆，因此(A??I)*?A*??I也可逆，从而???(A*)。同理若???(A*)，则???(A)，这就证明了?(A*)?{????(A)}。证毕。 10． 设T1是 X1 到X2的全连续算子，则T2T1是X1到X3T2是X2到X3的有界线性算子，
的全连续算子。
证明 设{xn} 是X1 中有界点列。因为T1全连续，所以{T1xn}中必有收敛子列。我们记之为{T1xnk}。又因为T2有界，所以{T2T1xnk}也收敛，因此{T2T1xn}有收敛子列。这就证明了T2T1是全连续算子。证毕。
211． 设A是l上线性算子，记en?(0,0,n?1个,0,1,0,)，
?Aek??ajkej
j?1其中Aek?i,j?1n???aij??，证明A是全连续的。
2证明 若x?(x1,x2,xn,)，定义An:Anx??(?xkajk)ej：
j?1k?1则An是有界秩算子，且
(A?An)x?2j?n?1k?1??xak??2jk
?j?n?1k?1?(?x??2k)(?ajk)
k?1?2???2jkj?n?1???ajkk?1?2x
2所以A?An?j?n?1??ak?1?0(n??)。
由本章§3定理2，A是全连续算子。证毕。 12． en的符号同第11题。作l上算子U。
2Uek?21ek?1,k?1,2,k.
证明U是l上全连续算子且?(U)?{0}。
?11证明 若x??xiei?l，则Ux??xiei?1。令Unx??xiei?1，则Un是有限秩算
i?1i?1ii?1i2???112?2子，且 (U?Un)x??xi??()?xi
i?1ii?n?1ii?n?12?21??i?1i所以Un?U??2x
21?0?2ii?n?1?(n??)。
这样U是有限秩算子Un的极限，U必是全连续算子。
由于全连续算子的非零谱都是特征值，因此要证?(U)?{0}，只要证U无非零特征值。
?1倘若??0，x??xiei?l,Ux??x,?xiei?1???xiei。即
i?1i?1ii?12??1(0,x1,x2,2则?x1?0,?xi?1?xi,i?1,2,证毕。
1,xn,)??(x1,x2,nxn,)。
。因此?不是U的特征值。
1i，由此可得xi?0,i?1,2,