内容发布更新时间 : 2024/5/23 19:30:44星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

中 考 平 面 镶 嵌 问 题

数学课程改革的基本思路之一就是使学生在活动中、在现实生活中学习数学、发现数学．平面镶嵌就是来自于现实生活中的数学问题，问题的求解过程富有挑战性，涉及到不定方程的特殊解；问题的结论具有现实意义，有利于学生认识到数学原来就来自我们身边的生活世界；镶嵌图案的美，使学生获得数学美的享受；研究各种镶嵌方案，有利于提高学生的动手实践能力，使学生获得数学探究的切身体验．所以，平面镶嵌问题符合当前新课程改革的新理念，在近年的中考命题中已引起人们的关注． 1 平面镶嵌问题的类型

类型1 由一种正多边形组成的平面镶嵌

设用正x边形来镶嵌平面，共顶点处集中了n个正多边形的角．因为相邻的正多边形 的边互相重合，所以共顶点的各个角之和必须等于360．故有等式

ο

(x-2)1800n??3600,

x化简并整理得 n?2x2x?4?44??2?, x?2x?2x?2 ∵x≥3的整数，n是正整数， ∴ x?2=1，2，4． 即x只能取值3，4，6；对应的值n为6，4，3．

结论1 当用一种正多边形来镶嵌平面图案时，只存在三种情况：由6个正三角形组成的平面镶嵌（如图1）；由4个正方形组成的平面镶嵌（如图2）；由3个正六边形组成的平面镶嵌（如图3）．

由上述推理过程我们还可得到：

结论2 在用正多边形组成平面镶嵌时，共顶点处至少有3个正多边形的角，至多有6个正多边形的角．

1

类型2 由两种正多边形组成的平面镶嵌

按“相邻的边互相重合，共顶点的角之和等于360”的原则，设有m个正x边形和nο

个正y边形组成平面镶嵌，则有等式

(x?2)1800(y?2)1800m??n??3600,

xy即

m(x?2)n(y?2)??2,?????????????????????????????????????(1) xy 由本文结论2知：3≤m＋n＜6, 又m,n均为正整数, ∴ m＋n＝3，4，5．

由x,y的对称性，不妨设m≥n，则m,n的取值有下列五种情况：

?m?2,?m?3,?m?2,?m?4,?m?3,???????????????? ?n?1,n?1,n?2,n?1,n?2.????? 当m=2, n=1时，代入（1）式，化简并整理得：

y?2x8?2?, x?4x?4 ∵x、y均为大于或等于3的整数，且x≠y，解得：

?x?5,?x?8,?x?12,???????? ?y?10,y?4,y?3.???

经检验，由两个正五边形和一个正十边形不能组成一个平面镶嵌图案，故将其舍去.

∴ 当m=2，n=1时，有两组解x=8，y=4；和x=12，y=3．

同理：当m=3，n=1时，解得x=4，y=4；不合题意，舍去； 当m=2，n =2时，解得x=3，y=6；和x=6，y=3；

当m=4，n=1时，解得x=3，y=6； 当m=3，n=2时，解得x=3，y=4．

结论3 当用两种正多边形来镶嵌平面图案时，存在下列五种情况：

（1）由2个正八边形和1个正方形组成的平面镶嵌，它只有一种镶嵌方案（如图4）； （2）由2个正十二边形和1个正三角形组成的平面镶嵌，它只有一种镶嵌方案（如图5）；

2

（3）由2个正三角形和2个正六边形组成的平面镶嵌，它只有一种镶嵌方案（如图6）； （4）由4个正三角形和1个正六边形组成的平面镶嵌，它只有一种镶嵌方案（如图7）； （5）由3个正三角形和2个正方形组成的平面镶嵌，它有两种不同的镶嵌方案（如图8、9）.

二、中考平面镶嵌问题举隅

例1 有以下边长相等的三种图形：①正三角形，②正方形，③正八边形．选其中两种图形镶嵌成平面图形，请你写出两种不同的选法（用序号表示图形）： 或 .

（2003年徐州市中考题）

分析 由本文结论3我们知道：由①②或②③均能组成平面镶嵌图形．那么由①、③能组成平面镶嵌图形吗？假设有m个正三角形和n个正八边形组成平面镶嵌图形，则有等

οοο

式： m·60+n·135=360， 即4m+9n=24 .

∴n能被4整除． 又 1≤n＜6的整数， ∴n＝4．

∴4m＝24－9n＝－12＜0， 不合．所以①、③组合不能镶嵌成平面图形. 例2 在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360）时，就拼成了一个平面图形．

（1）请根据下列图形，填写表格中空格：

3

ο