内容发布更新时间 : 2024/6/1 22:33:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

椭 圆

重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程及椭圆的参数方程； 难点：用椭圆的定义及基本性质求椭圆的方程。 1 椭圆的两种定义：

①平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长2a?F1F2的点的轨迹，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；（2a?F1F2时为线段F1F2，2a?F1F2无轨迹）。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集

??d2 标准方程：

M={P|

PF?e，0＜e＜1的常数

（e?1为抛物线；e?1为双曲线） ?。

x2y2（1）焦点在x轴上，中心在原点：2?2?1（a＞b＞0）；

ab焦点F1（－c，0）， F2（c，0）。其中c?a2?b2（一个Rt?）

y2x2（2）焦点在y轴上，中心在原点：2?2?1（a＞b＞0）；

ab焦点F1（0，－c），F2（0，c）。其中c?a2?b2 注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，c? a2?b2并且椭圆的焦点总在长轴上；

②两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A＞0，B＞0，A≠B），当A＜

B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上。

x2y23．参数方程 ：椭圆2?2?1(a?b?0)的参数方程

ab ?s?x?aco? (?为参数) ??y?bsin224.性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：x?y?1（a＞b＞0）有以下性质：

a2b2坐标系下的性质：

① 范围：|x|≤a，|y|≤b；

② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O（0，0）； ③ 顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b；

（a半长轴长，b半短轴长）；

a2④ 准线方程：x??ca2；或y??

c⑤ 焦半径公式：P（x0，y0）为椭圆上任一点。|PF1|=r左=a+ex0，|PF2|=r右=a-ex0；

|PF1|=r下=a+ey0，|PF2|=r上=a-ey0;PF?a?c,PFmin?a?c max平面几何性质： ⑥ 离心率：e=

c（焦距与长轴长之比）??0,1?；e越大越______，e?0是_____。 ab22a2⑦ 焦准距p?；准线间距?

cc二、焦点三角形

x2y2结论一：若F1、F2是椭圆2?2?1(a?b?0)的两个焦点，P是椭圆上一点，且

ab?F1PF2??，当点P位于___________时?最大，cos?=______________.

|PF1||PF2|的最大值为______________. S?F1PF2?btan2?2

结论二：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为__________。

三．中点弦问题

x2y2AB是椭圆2?2?1(a?b?0)的一条弦，中点M坐标为(x0,y0)，则直线的斜率

ab为 。

四．弦长问题.

(1)斜率为k的直线与圆锥曲线相交于两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则所得的弦长 或 .

(2)当直线的斜率不存在时，可求出交点的坐标，直接运算；

(3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称为焦点弦)的长度问题，可利用圆锥曲线的定义，将其转化为利用 ，往往比利用弦长公式简单。 五．X轴正半轴到椭圆的最短距离问题：

x2y2已知椭圆2?2?1(a?b?0)，则点(m ，O)到椭圆的最短距离为：_________________.

ab六．过椭圆上点切线问题

x0xy0yx2y2?2?1??1222P(x,y)Pbb若000在椭圆a上，则过0的椭圆的切线方程是a.

习 题

1、 求椭圆16x2?25y2?400的长轴和短轴的长，离心率，焦点和顶点的坐标。 2、已知椭圆的焦点为F1(?1,0)和F2(1,0)，P是椭圆上的一点，且F1F2是PF1与PF2的等差中项，则该椭圆的方程为__________________。

x2y2??1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则ON的长是3、 椭圆

259___________________。

4、 如果方程kx2?y2?2表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是

______________。

x2y25、 过椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，

ab?若?F1PF2?60，则椭圆的离心率为__________。

x2y26、 设F1,F2是椭圆2?2?1(a?b?0)的两个焦点，以F1为圆心且过椭圆中心的圆与椭

ab圆的一个焦点为M，若直线F2M与圆F1相切，则该椭圆的离心率为____________________。

x2y2??125167、点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径

为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为_______________.

x2y2C:2?2?1FFab8、（2009年上海卷理）已知1、2是椭圆（a＞b＞0）的两个焦点，P1F2的面积为9，则b=____________. 1?PF2.若?PF为椭圆C上一点，且PFx2y2??1F,F|PF1|?4，则29、（2009北京文）椭圆9的焦点为12，点P在椭圆上，若

|PF2|? ；?F1PF2的大小为 .

x2y2??1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一10、已知椭圆

169个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为_________。