内容发布更新时间 : 2024/5/20 3:35:16星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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（一）椭圆的定义：

1、椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于定长（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距。

对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）；

（2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F1F2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F1F2|时，我们得到的是线段F1F2；当这个“常数”小于| F1F2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。

（4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A1， A2， B1， B2，于是我们易得| A1A2|的值就是那个“常数”，且|B2F2|+|B2F1|、|B1F2|+|B1F1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。

（5）中心在原点、焦点分别在x轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：

x2y2?2?1(a?b?0),2aby2x2?2?1(a?b?0), 2ab222相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，a?c?b。

不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的

焦点坐标为（－c，0）和（c，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c）和（0，c）。椭圆的

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焦点在 x 轴上?标准方程中x项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y项的分母较大。

（二）椭圆的几何性质：

椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只

x2y2要2?2?1(a?b?0)的有关性质中横坐标x和纵坐标y互换，就可以得出aby2x2??1(a?b?0)的有关性质。总结如下： a2b2.下载可编辑.

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几点说明：

（1）长轴：线段A1A2，长为2a；短轴：线段B1B2，长为2b；焦点在长轴上。 （2）对于离心率e，因为a>c>0，所以0

ca2?b2b2由于e???1?2，所以e越趋近于1，b越趋近于0，椭圆越扁平；eaaa越趋近于0，b越趋近于a，椭圆越圆。

（3）观察下图，|OB2|?b,|OF2|?c，所以|B2F2|?a，所以椭圆的离心率e = cos∠OF2B2

（三）直线与椭圆：

直线l：Ax?By?C?0（A、B不同时为0）

x2y2 椭圆C：2?2?1(a?b?0)

ab那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组，通过方程组的解的

个数来判断直线和椭圆交点的情况。方法如下：

?Ax?By?C?0? ?x2y2 消去y得到关于x的一元二次方程，化简后形式如下

?2?1?2b?a.下载可编辑.

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mx2?nx?p?0(m?0)， ??n2?4mp

（1）当??0时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点； （2）当??0时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点（相切）； （3）当??0时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。

注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，那么线段AB的长度（即弦长）为|AB|?(x1?x2)?(y1?y2)，设直线的斜率为k，

可得：|AB|?(x1?x2)?[k(x1?x2)]?1?k2|x1?x2|，然后我们可通过求出方程的

根或用韦达定理求出。

2222典型例题一

0?，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 例1 椭圆的一个顶点为A?2，分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．

0?为长轴端点时，a?2，b?1， 解：（1）当A?2，x2y2??1； 椭圆的标准方程为：410?为短轴端点时，b?2，a?4， （2）当A?2，x2y2??1； 椭圆的标准方程为：

416说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．

典型例题二

例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

a21?2? ∴3c2?a2， 解：?2c?c3∴e?13． ?33说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比．二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可．

典型例题三

例3 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x?y?1?0交于A、B两点，M为AB.下载可编辑.