内容发布更新时间 : 2024/5/20 20:40:50星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
§1.2 复平面上的点集
我们在上节中提到过的复平面上的线段、直线和圆周等都是复平面上的点集.今后,我们的研究对象-解析函数,其定义域和值域都是复平面上的某个点集.
1. 平面点集的几个基本概念
定义1.1 由不等式z?z0??所确定的平面点集(以后平面点集均简称点集),就是以zo为心,以?为半径的圆,称为点zo的?-邻域,常记为N??z0?.
定义1.2 考虑点集E.若平面上一点z0(不必属于E)的任意邻域都有E的无穷多个点,则称z0为E的聚点或极限点;若z0属于E,但非E的聚点,则称z0为E的孤立点;若z0不属于E,又非E的聚点,则称z0为E的外点.
定义1.3 若点集E的每个聚点皆属于E,则称E为闭集;若点集E的点z0有一邻域全含于E内,则称z0为E的内点;若点集E的点皆为内点,则称E为开集;若在点z0的任意邻域内,同时有属于点集E和不属于E的点,则称z0为E的边界点;点集E的全部边界点组成的点集称为E的边界. 点集E的边界常记成?E. 点集E的孤立点必是E的边界点.
定义1.4 若有正数M,对于点集E内的点z皆合z?M,即若E全含于一圆之内,则称E为有界集,否则称E为无界集.
2. 区域与约当(Jordan)曲线
复变函数论的基础几何概念之一是区域的概念. 定义1.5 具备下列性质的非空点集D称为区域:
(1) D为开集.
(2) D中任意两点可用全在D中的折
线连接(图1.12).
O C 图1.12 界点 外点 y z 1D 内点 x 定义1.6 区域D加上它的边界C称为闭域,记为
D?D?C.
注意 区域都是开的,不包含它的边界点. 例1.16 试证:点集E的边界?E是闭集.
证 设z为?E的聚点.取z的任意?邻域N??z?,则存在z0??z?使得
N??z??z0??E.在N??z?内能画出以z0为心,充分小半径的圆.这时由z0??E可见,
在此圆内属于E的点和不属于E的点都存在.于是,在N??z?内属于E的点和不属于E的点都存在.故z??E.因此?E是闭集.
应用关于复数z的不等式来表示z平面上的区域,有时是很方便的. 例1.17 z平面上以原点为心,R为半径的圆(即圆形区域):
z?R,
以及z平面上以原点为心,R为半径的闭圆(即圆形闭域):
z?R,
它们都以圆周z?R为边界,且都是有界的.
例1.18 z平面上以实轴Imz?0为边界的两个无界区域是
上半平面Imz?0,
及 下半平面Imz?0. Z平面上以虚轴Rez?0为边界的两个无界区域是
左半平面Rez?0 右半平面Rez?0
例1.19 图1.13所示为单位圆周的外部含在上半z平面的部分,表为
图1.13 -1 O 1 x i y ?z?1, ?
Imz?0.?例1.20 图1.14所示的带形区域表为: y1?Imz?y2.
例1.21 图1.15所示的同心圆环(即圆环形区域)表为: r<|z| y y y?y2 r R x y?y1 O 图1.14 x O 图 1.15 复变函数的基础几何概念还有曲线。 定义1.7 设x?t?及y?t?是实变数t的两个实函数，在闭区间??,??上连续， ?t?x?x??则由方程组: ?,???t??? y?yt????或由复数方程:z?x?t??iy?t?， ???t??? （或简记为z?z?t?） ?1.16? 所决定的点集C，称为z平面上的一条连续曲线。?1.16?称为C的参数方程，z???及z???分别称为C的起点和终点；对满足??t1??, ??t2??, t1?t2的t1及t2当z?t1??z?t2?成立时，点z?t1?称为此曲线C的重点；凡无重点的连续曲线，称为简单曲线或约当曲线；z????z???的简单曲线称为简单闭曲线。 简单曲线是z平面上的一个有界闭集。 例如，线段，圆弧，抛物线弧段等都是简单闭曲线；圆周和椭圆周等都是简单闭曲线。 定义1.8 设连续弧AB的参数方程为 z?z?t?，???t??? 任取实数列?tn?： ??t0?t1?t2??tn?1?tn??， 并且考虑AB弧上对应的点列： zj?z?tj? ?j?0,1,2,?n? 将它们用一折线Qn连接起来，Qn的长度 In??z?tj??z?tj?1? j?1n如果对于所有的数列（1.17），In有上界，则AB弧称为可求长的。 上确界L?sup In称为AB弧的长度。 定义1.9 设简单（或简单闭）曲线C的参数方程为 z?x?t??iy?t? ???t???， 又在??t??上，x'?t?及y'?t?存在，连续且不全为零，则C称为光滑（闭）曲线。 光滑（闭）曲线具有连续转动的切线。 定义1.10 由有限条光滑曲线衔接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线。 特别简单折线是逐段光滑曲线 逐段光滑曲线必是可求长曲线，但简单曲线（或简单闭曲线）却不一定可求长。 *例1.22设简单曲线J的参数方程为 x?x?t??t??1???tsin,t?0时 ?y?y?t???t????0,t?0时? ?0?t?1? 显然 ?????111?An?,,Bn?,0? ??2n???2n?????2n????22??\\皆为J上的点，且连接An及Bn两电线段之长 ???????11?1 AnBn??????? ??2n??2n????2n???????22???? ?11??2n????2???11??2?n???4???1, 2?n?1??22?1因为?是发散的，所以?AnBn也是发散的，从而知简单曲线J是不可求长的。 n?1nn?1? 我们容易看出，圆周z?R把Z平面分为两个不相连接的区域z?R和z?R。这个结果时下面所谓约当定理的特例。 定理1.1 （约当定理） 任一简单闭曲线将平面唯一地分成及三个点集（图1.16），它们具有如下性质： （1） 彼此不交； （2） I?C?是一个有界区域（称为C的内部）； （3） E?C?是一个无界区域（称为C的内部） （4） 若简单折线的一个端点属于I?C?，另一个端点属于E?C?，则P必与 O I(C) y 正方向 E(负方向 x C有交点。 此定理的证明虽有多种，但都包含若干拓扑学的知识和术语，非简单篇幅所能说明。因此略去证明。不过这个定理的直观意义是很清楚的。 沿着一条简单闭曲线C有两个相反的方向，其中一个方向是：当观察者顺此方向沿C前进一周时，C的内部一直在C的左方，即“逆时针”方向，称为正方向；另一个方向是 ：当观察者顺此方向沿前进一周时，的外部一直在的左方，即“顺时针”方向，称为负方向（图1.16） 在简单闭曲线C的内部I?C?无论怎样画简单闭曲线?，则?的内部I???必全含于I?C?。这一性质的一般化，即是 定义1.11 设D为复平面上的区域。若在内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于D，则称D为单连通区域；非单连通的区域称为多连通区域。 简单闭曲线C的内部I?C?就是单连通区域。我们在例1.17 至例1.20中所列举的区域也是单连通的。而例1.21所列举的圆环形区域： r?z?R?r?0,R????