内容发布更新时间 : 2025/9/19 17:07:27星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

精析由递推公式求通项的9种方法

1．an＋1＝an＋f(n)型

把原递推公式转化为an＋1－a n＝f(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解，即an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1)．

11

[例1] 已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an＋2，求an.

2n＋n[解] 由条件，知an＋1－an＝

1111

＝＝－，则(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)n2＋nn?n＋1?nn＋1

1??11??11??1－1??＋…＋(an－an－1)＝?1－2?＋?2－3?＋?3－4?＋…＋??，

?n－1n?

1

所以an－a1＝1－.

n

11131

因为a1＝，所以an＝＋1－＝－.

22n2n

2．an＋1＝f(n)an型

an＋1

把原递推公式转化为a＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)

n

a2a3anan

求解，即由＝f(1)，＝f(2)，…，＝f(n－1)，累乘可得＝

a1a2a1an－1f(1)f(2)…f(n－1)．

2n

[例2] 已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝·a，求an.

3n＋1nan＋1nn

[解] 由an＋1＝·an，得＝，

ann＋1n＋1

n－1n－2anan－1a21222

故an＝··…··a1＝××…××＝.即an＝. a1n233n3nan－1an－2n－1

3．an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)型

对于此类问题，通常采用换元法进行转化，假设将递推公式改写为an＋1＋t＝p(an＋t)，比较系数可知t＝

1 / 51 / 5

q

，可令an＋1＋tp－1

＝bn＋1换元即可转化为等比数列来解决．

[例3] 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an.

[解] 设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，则t＝－3.

故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)．

bn＋1an＋1＋3

令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2.

bnan＋3所以{bn}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列． 所以bn＝4×2n1＝2n1，即an＝2n1－3.

－

＋

＋

4．an＋1＝pan＋qn(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)型

(1)一般地，要先在递推公式两边同除以q

n＋1

an＋1pan

，得n＋1＝q·qn＋q

?an?1p1

??其中b＝，引入辅助数列{b}，得b＝·b＋nnn＋1

qn?qqnq，再用待定?

系数法解决；

(2)也可以在原递推公式两边同除以p

n

n＋1

an＋1an1?q?

??，得n＋1＝pn＋p·?p?p

?an?

?，引入辅助数列{bn}其中bn＝pn?，得??1?q?n

bn＋1－bn＝p?p?，再利用叠

??

加法(逐差相加法)求解．

1?n＋151

[例4] 已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋??2?，求an. 63

1?n＋112nn＋1n＋1[解] 法一：在an＋1＝an＋?两边乘以2，得2·aan)＋1. n＋1＝(2·?2?332令bn＝2n·an，则bn＋1＝bn＋1，

3

2

根据待定系数法，得bn＋1－3＝(bn－3)．

3

54

所以数列{bn－3}是以b1－3＝2×－3＝－为首项，

632

以为公比的等比数列． 3

4?2?n－1?2?n. 所以bn－3＝－·，即bn＝3－2?3?3?3?

2 / 52 / 5

1?n?1?nbn

于是，an＝n＝3??2?－2?3?. 2

1?n＋11n＋1法二：在an＋1＝an＋??2?两边乘以3，得 33?n＋13n＋1an＋1＝3nan＋??2?.

3?n＋1令bn＝3n·an，则bn＋1＝bn＋??2?.

3?n?3?n－1，…， 所以bn－bn－1＝?，bn－1－bn－2＝?2??2?3?2b2－b1＝??2?. 将以上各式叠加，

3?2?3?n－1＋?3?n. 得bn－b1＝?＋…＋?2??2??2?553又b1＝3a1＝3×＝＝1＋，

622

33?2?3?n－1＋?3?n 所以bn＝1＋＋?＋…＋?2??2?2?2??1－?3?n＋1?1·??2???3?n＋1

＝＝2?2?－2，

31－2

3?n＋1

即bn＝2??2?－2. 1?nbn?1?n. 故an＝n＝3?－2?2??3?3

5．an＋1＝pan＋an＋b(p≠1，p≠0，a≠0)型

这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an＋1＋x(n＋1)＋y＝p(an＋xn＋y)，与已知递推式比较，解出x，y，从而转化为{an＋xn＋y}是公比为p的等比数列．

[例5] 设数列{an}满足a1＝4，an＝3an－1＋2n－1(n≥2)，求an. [解] 设递推公式可以转化为an＋An＋B＝3[an－1＋A(n－1)＋B]，

??2A＝2，化简后与原递推式比较，得?

?2B－3A＝－1，?

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