内容发布更新时间 : 2024/5/17 2:29:26星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

一、基本概念和知识 1.整除

例如：15÷3=5,63÷7=9

一般地,如a、b、c为整数,b≠0,且a÷b=c,即整数a除以整除b（b不等于0）,除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0）,我们就说,a能被b整除（或者说b能整除a） 7是63的约数. 2.数的整除性质

性质1：如果a、b都能被c整除,那么它们的和与差也能被c整除.

例如：如果2｜10,2｜6,那么2｜（10＋6）,并且2｜（10—6）. 性质2：如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a.

即：如果bc｜a,那么b｜a,c｜a.

性质3：如果b、c都能整除a,且b和c互质,那么b与c的积能整除a.

即：如果b｜a,c｜a,且（b,c）=1,那么bc｜a. 例如：如果2｜28,7｜28,且（2,7）=1, 那么（2×7）｜28.

性质4：如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a. 即：如果c｜b,b｜a,那么c｜a.

例如：如果3｜9,9｜27,那么3｜27. 3.数的整除特征.

① 能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数. ② 能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除.

③ 能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除. ④ 能被5整除的数的特征：个位是0或5.

⑤ 能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除.

⑥ 能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是0或11的倍数.

⑦ 能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除. 练习及详解

例题1. 四位数“3AA1”是9的倍数,那么A=_____.（小五奥数） 解析：已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.

练习（1） 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.

练习（2）已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位_____.

例题 2. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.

解析：先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.

(1+2+3+…+100)-（3+6+9+12+…+99） =(1+100)÷2×100-(3+99)÷2×33 =5050-1683=3367

练习 所有能被3整除的两位数的和是______.

例题3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.

练习 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.

例题4. 173□是个四位数字,数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字,

所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？