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三角形“四心”的向量统一形式的再证明

作者：吴义方

来源：《读写算》2012年第46期

文[1]读后受益匪浅，但又觉得意犹未尽，本文拟对该文的部分结论提出一类新的证法，供大家参考。

已知O为△ABC内一点，且 S△OBC：S△OAC：S△OAB 证明如图：在BC上取一点D，使D分的比为Z：Y 图1 则 三点共线且

∴S△OBC：S△ABC=

同理可得：S△OAC：S△ABC= S△OAB：S△ABC=

∴S△OBC：S△OAC：S△OAB=X:Y:Z 反之亦然

如图：延长AO交BC于点D 图2

∴S△OAC：S△OAB=Y:Z Y:Z

∴在△OBC中 S△OBC=S△BOD

又∵S△OBC：S△OAB=X:Z

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∴S△BOD：S△OAB=X：（Y+Z） X：（Y+Z）

下面用此结论证明三角形“四心”的向量形式 1、重心

已知O为△ABC内一点，若，则O为△ABC的重心。 证明：

∴S△OBC：S△OAC：S△OAB=1：1：1 由图（2）知 ∵S△OAC=S△OAB ∴D为BC中点， ∴AO为中线。

同理可知BO、CO分别为各边中线 ∴O为△ABC的重心 反之也成立 2、内心

已知O为△ABC内一点，若 则O为△ABC内心 证明： ∵

∴S△OBC：S△OAC：S△OAB= 又∵在△ABC中由正弦定理知： ∴S△OBC：S△OAC：S△OAB=a:b:c

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∴O点到△ABC各边的距离相等 ∴O为△ABC的内心 3、垂心

已知O为△ABC内一点，若， 则O为△ABC的垂心。 证明： ∵

∴S△OAB：S△OAC：= 又∵S△OAB：S△OAC=

在图（2）中作AE垂直BC交BC于点E则 ∴D与E重合即AD⊥BC 故OA⊥BC 同理可得：BO⊥AC CO⊥AB ∴O为△ABC的垂心。 参考文献