内容发布更新时间 : 2024/5/20 14:45:18星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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人教版高中数学选修2-1
知识点梳理
重点题型（常考知识点）巩固练习
立体几何中的向量方法
【学习目标】
1. 理解直线的方向向量与平面的法向量。
2. 能用向量方法证明有关直线和平面的平行与垂直。
3. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题。 4. 能用向量方法计算两点、点线、点面、面面距离。 【要点梳理】
要点一、直线的方向向量和平面的法向量 1.直线的方向向量：
若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线l的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量。
要点诠释：
（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。
（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算。
2. 平面的法向量定义：
已知平面?，直线l??，取l的方向向量a，有a??，则称为a为平面?的法向量。
要点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量。已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量。
3.平面的法向量确定通常有两种方法：
（1） 几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；
（2） 几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
（i）设出平面的法向量为n=（x，y，z）；
（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a=（a1，b1，c1），b=（a2，b2，c2）；
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?n?a?0 （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程?；
n?b?0? （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程
组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．
要点二、用向量方法判定空间中的平行关系
空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行。 （1）线线平行 设直线l1，l2的方向向量分别是a，b，则要证明l1//l2，只需证明a//b，即a?kb(k?R)。 （2）线面平行
线面平行的判定方法一般有三种：
①设直线l的方向向量是a，平面?的向量是u，则要证明l//?，只需证明a?u，即a?u?0。
②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量。
③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可。
（3）面面平行
①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可。 ②若能求出平面?，?的法向量u，v，则要证明?//?，只需证明u//v。 要点三、用向量方法判定空间的垂直关系
空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直。 （1）线线垂直
设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，则要证明l1?l2，只需证明a?b，即a?b?0。 （2）线面垂直
①设直线l的方向向量是a，平面?的向量是u，则要证明l??，只需证明a//u。 ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直。 （3）面面垂直
①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直。 ②证明两个平面的法向量互相垂直。
要点四、用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角
已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为?， 则cos??|AC?BD|。
|AC|?|BD|资料来源于网络 仅供免费交流使用
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要点诠释：两异面直线所成的角的范围为（00,900]。两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。
（2）求直线和平面所成的角 设直线l的方向向量为a，平面?的法向量为u，直线与平面所成的角为?，a与u的角为?， 则有sin??|cos?|?|a?u|。
|a|?|u|
（3）求二面角
如图，若PA??于A，PB??于B，平面PAB交l于E，则∠AEB为二面角??l??的平面角，∠AEB+∠APB=180°。
若n1?n2分别为面?，?的法向量，?n1,n2??arccosn1?n2
|n1|?|n2|则二面角的平面角?AEB??n1,n2?或???n1,n2?，即二面角?等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角。
①当法向量n1与n2的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角?的大小等于n1，n2的夹角
?n1,n2?的大小。
②当法向量n1，n2的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角?的大小等于n1，n2的夹角的补角
???n1,n2?的大小。
要点五、 用向量方法求空间距离 1. 求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量；
②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
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