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三校2014届十二月联考

数学试卷（理科）

满分150分，考试时间为120分钟

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的. （1）已知a,b,c,d为实数，且c?d. 则“a?b”是“a?c?b?d”的 （ ）.

（A）充分而不必要条件 （B） 必要而不充分条件 （C）充要条件 （D） 既不充分也不必要条件w

（2）已知f(x)?x2?2xf?(1)，则f?(1)等于 ( ). （A）4 （B）－2 （C）0 （D）2

（3）28 的一支田径队有男运动员 56人,女运动员 42 人,若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为

样本,则样本中男运动员的人数为 ( ) . （A）16 （B）14 （C）12 （D）10

（4）已知{an}是等差数列,若a1?a9?10,a4?3,则数列{an}的公差等于 （ ）.

（A）?1 （B）1 （C）2 （D）3

（5）已知lga?lgb?0，则函数f(x)?a与函数g(x)??logbx的图象可能是 （ ）.

x

（6）动圆M过定点A且与定圆O相切，那么动圆M的圆心的轨迹是 （ ）.

（A）圆，或椭圆 （B）圆，或双曲线，

（C）椭圆，或双曲线，或直线 （D）圆，或椭圆，或双曲线，或直线

?x?y?3?0?（7）已知直线y?2x上存在点(x,y)满足约束条件?x?2y?3?0， 则实数m的取值范围是

?x?m? （ ）.

（A）(??,?1] （B）[?1,??) （C）[2,??) （D）(??,1] （8）如图，半径为3的扇形AOB的圆心角为120?，点C在?AB

uuuruuruuur??COB?30上，且，若OC??OA??OB，则???? ( ).

（A）3 （B）343 （C） （D）3323

（9）已知直线3x?y?2m?0与圆x2?y2?n2相切，其中m,n?N*，且n?m?5，则满足条件的有

序实数对(m,n)共有的个数为 ( ). （A）1 （B）2 （C）3 （D）4

（10）设f?x?是定义在R上的偶函数,且当x?0时,f(x)?ex.若对任意的x?[a,a?1],不等式

f?x?a??f2?x?恒成立,则实数a的最大值是 （ ）.

(A) ?323 (B) ? (C) ? (D) 2 23412二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.

（11）已知一元二次不等式f(x)?0的解集为 {x|x??1,或x?}，则不等式f(lgx)?0的解集为

.

（12）如图，直角VPOB中，?PBO?90?，以O为圆心、OB为

半径作圆弧交OP于A点．若圆弧?AB等分VPOB的面积， 且?AOB??弧度，则

2tan??2= .

2（13）在?ABC中,sinA?sinB?sinC?sinBsinC，则A的取值范围是________.

（14）设[x],[y]分别表示不大于x,y的最大整数，如[1.3]?1,[?0.3]??1.则集合

S?{(x,y)|[x]2?[y]2?1}表示的平面区域的面积为 .

（15）对于平面直角坐标系内任意两点A(x1, y1)，B(x2, y2)，定义它们之间的一种“折线距离”：

d(A,B)?|x2?x1|?|y2?y1|．则下列命题正确的是 .(写出所有正确命题的序号)

①若A?-1,3?，B?1,0?，则d(A,B)?5；

②若点C在线段AB上，则d(A,C)?d(C,B)?d(A,B)； ③在?ABC中，一定有d(A,C)?d(C,B)?d(A,B)；

④若A为定点，B为动点，且满足d(A,B)?1，则B点的轨迹是一个圆； ⑤若A为坐标原点，B在直线2x?y?25?0上，则d(A,B)最小值为5.

三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上

的指定区域内. （16）（本小题满分12分） 已知函数f(x)?cos2(x?1)?1，g(x)?sin2x. 122?（Ⅰ）设x?x0是函数y?f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值； （Ⅱ）求函数h(x)?f(x)?g(x)的值域.

（17）（本小题满分12分）

前不久，省社科院发布了2013年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”.随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：

[来源:学+科+网]

（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数； （Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1幸福”的概率；

（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记?表示抽到“极幸福”的人数，求?的分布列及数学期望．

（18）（本小题满分12分）

已知a,b是不相等的正常数，实数x,y?(0,??).

度为“极人是“极

a2b2(a?b)2??（Ⅰ）求证：，并指出等号成立的条件； xyx?y（Ⅱ）求函数f(x)?

（19）（本小题满分12分）

211?,x?(0,)的最小值，并指出此时x的值． x1?2x2x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)，直线x?3y?3?0经过椭圆C的上顶点B和左焦点F，设椭

ab圆右焦点为F?.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设P是椭圆C上动点,求|4?(|PF?|?|PB|)|的取值范围,并求取最小值时点P的坐标.

（20）（本小题满分13分） 已知函数f(x)?2x2?alnx．

（Ⅰ）若a?4，求函数f(x)的极小值；

（Ⅱ）试问：对某个实数m，方程f(x)?m?cos2x在x?(0,??)上是否存在三个不相等的实根？若存在，请求出实数a的范围；若不存在，请说明理由.

（21）（本小题满分14分）

2设n?N*，圆Cn：x2?y2?Rn与曲线y?(Rn?0)与y轴正半轴的交点为M，

1x的交点为N(,yn)，

n直线MN与x轴的交点为A(an,0).

(Ⅰ)用n表示Rn和an； (Ⅱ)求证：an?an?1?2； (Ⅲ)设Sn?

7Sn?2n31,，求证：??.aT???in5Tn2 i?1i?1inn

理科数学参考答案

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 C B 5 [来源:Zxxk.Com][来源:学#科#网]

6 D 7 D 8 A 9 D 10 C 二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置. 11. {x|1?x?10}； 12.2； 13. (0,?]； 14. 5； 15. ①②⑤.

310 三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内. （16）（本小题满分12分） （Ⅰ）由题知

所以2x0f(x)?1?1cos(2x?)?，因为x?x0是函数y?f(x)图象的一条对称轴， 262??6?k?(k?Z)，即2x0?k???6(k?Z)， ????????3分

故g(x0)?11?1?1sin2x0?sin(k??)，当k为偶数时，g(x0)?sin(?)??， 226264264当k为奇数时，g(x)?1sin??1； ????????6分

0（Ⅱ）由题知h(x)?f(x)?g(x)?1?11cos(2x?)??sin2x 26221?113111?1?[cos(2x?)?sin2x]??(cos2x?sin2x)??sin(2x?)?，?????10分 2622222232所以h(x)的值域为[?1,0]. ????????12分 （17）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）众数：8.6；中位数：8.75 ； ????????3分 （Ⅱ）设

Ai表示所取3人中有

i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件

A，则

312C12C4C12121 ； ????????7分

P(A)?P(A0)?P(A1)?3??3140C16C16[来源:Zxxk.Com]

（Ⅲ）

ξ的可能取值为0，1，2，3.高?考.资.源+网 高.考.资.源+网 P(??0)?(3)43?27；

641P(??1)?C313227； ()?4464139；11.

P(??2)?C32()2?P(??3)?()3?4464464ξ的分布列为：

ξ P 所以E?0 27 641 27 642 9 643 1 64?0?272791?1??2??3??0.75. ????????12分 64646464