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人教版高中数学必修一第二章基本初等函数知识点总结
第二章 基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n0=0。
n注意：(1)(na)?a
?a,a?0(2)当 n是奇数时，a?a ，当 n是偶数时，a?|a|??
?a,a?0?nnnn2．分数指数幂
正数的正分数指数幂的意义，规定：a正数的正分数指数幂的意义：a_mnmn?nam(a?0,m,n?N?,且n?1)
(a?0,m,n?N?,且n?1)
?1amn0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）aa?arsrrsr?srsr(a?0,r,s?R)
r（2）(a)?a(a?0,r,s?R) （3）(ab)?ab(a?0,b?0,r?R)
注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分；如[(1?2)]?1?2而应=2?1 （二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数y?a 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即 a>0且a≠1 2、指数函数的图象和性质 图 像 0
（2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比
较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a0)进行传递或者利用（1）的知识。
（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。 （4）分辨不同底的指数函数图象利用a1=a，用x=1去截图象得到对应的底数。 (5)指数型函数：y=N(1+p)x 简写：y=kax 二、对数函数 （一）对数
x?logaN 1．对数的概念：一般地，如果ax?N ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：
（ a— 底数， N— 真数，logaN— 对数式）
说明：1. 注意底数的限制，a>0且a≠1；2. 真数N>0 3. 注意对数的书写格式．
2、两个重要对数：
（1）常用对数：以10为底的对数, log10N记为lgN ；
（2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , logeN记为lnN． 3、对数式与指数式的互化 对数式 指数式 对数底数← a → 幂底数 对数← x → 指数 真数← N → 幂 结论：（1）负数和零没有对数
（2）logaa=1, loga1=0 特别地， lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0
(3) 对数恒等式：aa?N （二）对数的运算性质
如果 a > 0，a ? 1，M > 0， N > 0 有：
?logaM?logaN 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 1、 log（aM?N）2 、logalogNM?logaM?logaN 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 Nn（n?R）3 、logaM?nlogaM 一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n
倍
说明:
1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”…… 2) 有时可逆向运用公式
3) 真数的取值必须是(0,＋∞)
4) 特别注意：logaMN?logaM?logaN 注意：换底公式logab?logcblgb??a?0,a?1,c?0,c?1,b?0?
logcalga利用换底公式推导下面的结论 ①logab?1n ②logab?logbc?logcd?logad③logambn?logab
logbam（二）对数函数
1、对数函数的概念：函数y?logax (a>0，且a≠1) 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：（1） 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。 如：y?logax?1，y?logax?2 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
（2） 对数函数对底数的限制：a>0，且a≠1
2、对数函数的图像与性质：对数函数y?logax(a>0，且a≠1)
图像 0 ＜ a ＜ 1 a ＞ 1 y y 0 (1,0) x 0 (1,0) x 性质 定义域：（0，＋∞） 值域：R 过点(1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0 在(0,+∞)上是减函数 当x>1时，y<0 当x=1时，y=0 当0
aa当a,b不同在(0,1) 内，或不同在(1,+∞) 内时,有logb<0.
a口诀：底真同大于0（底真不同小于0）.
（其中，底指底数，真指真数，大于0指logb的值）
a3、如图，底数 a对函数y?logax 的影响。
规律: 底大枝头低, 头低尾巴翘。 4考点：
Ⅰ、logab, 当a,b在1的同侧时, logab >0；当a,b在1的异侧时, logab <0
Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性
比较对数的大小，同底找对应的对数函数，底数不同真数也不同利用（1）的知识不能解决的插进1(=logaa)进行传递。
Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0，值域求法用单调性。
Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用1=logaa ，用y=1去截图象得到对应的底数。 Ⅴ、y=ax(a>0且a ≠1) 与y=logax(a>0且a ≠1) 互为反函数，图象关于y=x对称。 5 比较两个幂的形式的数大小的方法:
(1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断. (2) 对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断.
(3) 对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用1和0. 6 比较大小的方法
(1) 利用函数单调性(同底数)；(2) 利用中间值（如:0,1.）；(3) 变形后比较；(4) 作差比较
（三）幂函数
1、幂函数定义：一般地，形如y?x的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数． 2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+ ∞）上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；
（3）α<0 时，幂函数的图象在（0，+∞）上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．
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