内容发布更新时间 : 2025/10/14 4:22:54星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
习 题 一
1．填空题
1(1) 若|a| = 2，则a0=_____a。答案：2
2?????(2) 若2a+3b=0且|a| = 1，则|b|= ．答案：3
???(3) 若点A（1,２,?4），AB={?3，2，1}，则点 B的坐标为 ．答案：(?2,?4,5)
?????（4）a//b的充要条件为 ．答案：a?b?0
????（5）a?b的充要条件为 ．答案：a?b?0
?????????????????bjj（6）若a= 3i+2?k, b=i-+2k, 则a= ；5a?3b= ；a?b= ; a?i= ;
??j?a= ．答案：?1，?15，3i-7j-5k，-j-2k， -i?3k
3（7）若OA={0，1，3}，OB= {0，1，3}，则面积S?OAB= .答案：2????（8）若a={3，2，1}，b={2，?3，k},且a?b,则k= ．答案：0
210
22（9）方程x+y+z?3x?5y?25?0在空间中表示 ． 答案：球面
（10）方程x?y?2y?0在空间中表示 ． 答案：圆柱面 （11）方程x?y?2z在空间中表示 ． 答案：旋转抛物面 （12）方程y?2z是yoz坐标面上的 ． 是空间中的 。
答案：抛物线，母线平行于x轴的抛物柱面
22??2y?z?4x?4z?22?y?3z?8x?12z关于yoz坐标面的投影柱面方程为 。答案：y2?z2?4z ?（13）曲线
22222（14）在空间直角坐标系中把下列平面的特征填在横线上，y = 0 ; 2x+1=0 ;x?y?0 ;3x?5z?6?0 ；
2x?3y?z?0 。 答案：xoz坐标面，平行于yoz坐标，过z轴，平行于y轴，过原点，
?(15)平面x + y + z = 1的法向量 。答案：n?{1, 1, 1}
A（16）若平面Ax +By +Cz +D = 0在x轴上的截距为1，则 。答案：D??1.
5714
（17）两平面2x?3y+ 6z?1= 0与x + 3y + 2z?3= 0的夹角为 。 答案：
arccos?x?2t?2??y??4t?5?（18）若直线?z?3t?1与平面?x??y?6z?16?0垂直，则 。 答案：??4;???8.
2?y2z??1??94??43的交线是 。答案：??x?3
x2（19）两曲面42．选择题
?2y292?z216?1与x?（20）方程z?y?x?1在空间中表示 。 答案：双曲抛物面
?????（1）a与b的向量积a?b=0的充要条件是（ ）．
???????????a．a?b b．a// b c．a=0且b=0 d．a与b之一为0 答案：b
1
????（2）若|a+b| = |a|+|b|，则（ ）．
????????a．a与b同方向 b．a与b反方向 c．|a| > |b| d．|a| < |b| 答案： a
?（3）若a的方向角为?,?,?,则（ ）．
a．cos??cos??cos??1 b．cos??cos??cos??0 c．sin??sin22222222??sin??1 d．cos??cos??cos??1 答案： a
2?A1x?D1?0?（4）直线?A2z?D2?0(A1A2?0)的位置特征是（ ）．
a．垂直于z轴 b．平行于y轴 c．平行于x轴 d．平行于xoy坐标面 答案： b，d （5）过点P1 (1, 1, 0) , P2(1, -1, 0) , P3(0, 0, 0)的平面方程为（ ）．
a．x?y?0 b．x?y?0 c．x?y?z?0 d．z?0 答案： d ?x?1?0?z?3?y?2???1的位置关系为（ ）（6）平面x ?1= 0与直线?1．答案：a
a．直线在平面上 b．直线与平面平行 c．直线与平面垂直 d．直线与平面相交于一点
（7）球面方程x?y?z?2x?2z?0的球心M0及半径R分别为（ ）．答案：a
a．M0(1,0,1),R?2 b．M0(?1,0,?1),R?2 c．M0(?1,0,1),R?2 d．M0(1,0,1),R?2 （8）过y轴上的点(0,1,0)且平行于xoz坐标面的平面方程为（ ）．答案：b a．x = 0 b．y = 1 c．z = 0 d．x + z = 1
（9）准线为xoy坐标面上以原点为圆心、半径为2的圆周母线平行于z轴的圆柱面方程是（ ）．答案b a．x?y222222?2 b．x?y222?4 c．x?y?4?0 d．x?y?z22222222?4
22(10)下列方程在空间直角坐标系中表示抛物面方程的是（ ）．答案：b，c a．x?y?z2?0x?2y?z?0 c．x?y b．2?2z d．x?2y?z?0
3．在空间直角坐标系中,作出点A (3,2,-1)和B (-2,1,4)，并写出它们关于： （1）各坐标面，（2）各坐标轴，（3）原点的对称点的坐标 ．
解：A (3,2,-1)关于XOY坐标平面对称的坐标是(3,2,1)
A (3,2,-1)关于XOZ坐标平面对称的坐标是(3,?2,?1) A (3,2,-1)关于YOZ坐标平面对称的坐标是(?3,2,?1)
A (3,2,-1)关于原点对称的坐标是(?3,?2,1)
??????????j???0?000?3j4．求出向量a=i++k，b=2i+5k的单位向量a，b，并分别用a，b表示a，b．
????3???38?0???0?(i?j?k)b?(2i?3j?5k)0b?383a?3ab?38b338解：，； ，，
???5．设向量a＝{3，5，?1}，b={2，2，2}，c={4,?1,?3}，试求
?????（1）2a?3b?4c；（2）?a??b（?,?为常数）．
?????解：（1）2a?3b?4c?{16, 0,?20} （2）?a??b?{3??2?,5??2?,???2?}
????????6．设两力F1?2i?3j?6k和F2?2i?4j?2k都作用于点M（1，?2，3）处，且点N（p, q, 19）
?a??0a?在合力的作用线上．试求p，q的值．
??解：因为MN??p-1,q?2,16?;F1+F2=?4,7,8?;由对应向量成比例知p?9,q?12
???7．两船在某瞬间位于P(18, 7, 0)，Q(8, 12, 0)，假设两船均沿PQ作匀速直线运动，且速率之比为3 ：2，
问在何处两船相遇．
2
解：设在F?x,y,z?处相遇，PQ???????..??10,5,0?，PF=?x?18,y?7,z?
y?75z035，所以点F(12,10,0)。
???PF????35x?18由题意得PQ，即?10???73311(,,?1?),cos??,cos??,??22222aa8．设向量的终点为|| = 3，方向余弦中的求向量
标及其起点．
a的坐
解：由cos??cos??cos??1，
222cos??12,cos??12得
,cos??22，
?3332???,,????222??。起点坐标为?2,0,?1?,2,0,?1?32 所以a??9．已知a={4,?2, 4}，b={6,?3, 2}，试求
?????????(（1）a?b； （2）(a,b) （3）(3a?2b)a+2b)． ????a?b19cos(a , b)=???19??arccos21??ab21 解：（1）a?b?38 （2） (a,b)?????0,0,8???8,?8,8???(（3）(3a?2b)a+2b)??64
10．已知四点A（1,2,3），B（5,?1,7），C（1,1,1），D（3,3,2）．求
??（1）
PrjCDAB； （2）cos(AB,CD)．
?CD?AB?3?341CDABPrjCDAB?AB?cos(AB,CD)?41 412 ， （2）cos(AB,CD)????11．设力F?2i?3j?k使一质点沿直线从点M1(0,1,?1)移动到点M2(2,1,?2),试求力F所作的功．
解：（1）
????2,?3,1???2,0,?1??3解：MN=?2,0,?1?，W?F?MN=?
?????12．已知a={4,?2，4}，b={6,?3，2}，试求
?????（1）a?b； （2）(2a?b)?b
?????????8i?16j(2a?b)?b16i?32j ?解：（1）a?b= （2）
????????2i?2j?k5j?3k的单位向量． 13．求同时垂直于向量a=和b=4i+
????????i?2j?2kn?3解：n?a?b，则向量n同时垂直于向量a和向量b，，所以所求单位向量为??13(i?2j?2k)
14．已知三角形的顶点是A（1,?1,2），B（3,3,1）和C（3,1,3），求三角形ABC的面积．
S?ABC?12??????AB?AC?3i?2j?2k?17解：
15．求过点P（1,?1,?1），Q（2,2,4）且与平面x+y?z= 0垂直的平面方程．
解：PQ??1,3,5?,所求平面的法向量n?PQ??1,1,?1??????????8,6,?2?，所求平面方程为4x?3y?z?6?0
3
16．已知点A（2,?1,2）和B（8,?7,5）求过点B且垂直于AB的平面方程． 解：法向量AB??6,?6,3?，所以所求平面方程为2x?2y?z?35?0 17．求平面2x?y?z?7?0与x?y?2z?11?0的夹角．
??n1?n2?n1??2,?1,1?,n2??1,1,2?,cos(n1,n2)????1n1n12，所以夹角为3。 解：
18．判断下列各对平面的位置关系．
（1）x?2y?7z?3?0与 3x?5y?z?1?0 （2）x?y?z?7?0与 2x?2y?2z?1?0 （3）2x?3y?z?1?0与 x?y?2z?1?0 （3）两平面相交
19．求过点（1，1，1），且同时垂直于平面4x?y?3z?1?0和x?5y?z?2?0的平面方程．
??????n1??4,?1,3?,n2??1,5,?1?,nn?n????14,7,21?n12解：，所求平面的法向量是，所以所求平面方程为2x?y?3z?2?0。
20．设平面方程为Ax?By?Cz?D?0，问下列情形的平面位置有何特征：
（1）D = 0 （2）A = 0 （3）A = 0，D = 0 （4）A = 0，B = 0，D = 0 解：（1）平面过原点 （2）平面平行于X轴 （3）平面过X轴 （4）平面过XOY平面 21．画出下列平面的图形．
（1）2x?3y?3z?6= 0 （2）y?2 （3）2y?3z?0 （4）3x?z?3?0 解：略 22．将下列直线的一般方程化为点向式方程及参数方程．
?x?y?z?5?0?z?1??5x?8y?4z?36?0（1）? （2）?2x?3y?2
????nn?n解：（1）因为12?0，所以两平面互相垂直 （2）因为1?n2?0，所以两平面互相平行
?x?4t?y?4?txz?1?x?2y?2z?1?y?4?????z??1?3t??320 43解：（1） （2）?x??2?3t??y?2?2t?z?1?
?x?y?2z?1?0?(?1,2,1)23．一直线通过点且与直线?x?2y?z?1?0平行．求此直线方程．
??n1??1,1,?2?,n2??1,2,?1?解：两平面的法向量分别为，
x?1y?2z?1?????n?n1?n2??3,?1,1?，所以直线方程为3?11。
24．一直线通过点(0,2,4)，且与两平面x?2z?1?0及y?3z?2?0平行，求此直线方程．
??n1??1,0,2?,n2??0,1,?3?解：两平面的法向量分别为，
xy?2z?4?????n?n1?n2???2,3,1?，所以直线方程为?231。
x?125．求过直线1z?5?y?1?1?z?12与平面x+y?3z+15 = 0的交点，且垂直于该平面的直线方程．
解：求出直线与平面的交点坐标为（3，?3，5），直线的方向向量为?1,1,?3?，所以直线方程为
x?3?y?3??3。
26．确定下列直线与直线、直线与平面的位置关系．
4
?x?2?9t?2x?y?2z?4?0??y?1?3txyz?2x?1yz?2??????z??3?15tx?y?2z?3?0??2与 15与 ?（1）?11 （2）3
x?2（3）2?y?47?z?3x?2?n解：（1）直线方向向量1???1,1,?2?，另一直线方向向量
???n2??2,?1,2???1,?1,2???2j?k，n1?n2?0，所以两直线垂直
?3与 4x?2y?2z?1?0 （4）3?y?1?2?z7与 3x?2y?7z?8?0
（2）两直线的方向向量都是?3,1,5?，所以两直线平行
????n?2,7,?3n?4,?2,?2n????（3）直线方向向量1，平面法向量2，1?n2?0，
所以直线和片面平行
????n1??3,?2,7?n2??3,?2,7?n1?n2（4）直线方向向量，平面法向量，， 所以直线和片面平行垂直 27．求过点（0,2,2），（4,0,0），球心在y轴上的球面方程． 解：设球面方程为x?(y?b)?z程为x?(y?2)?z222222?r，把（0,2,2），（4,0,0）代入，解得b?2,r?220，球面方
?20
28．求下列旋转曲面的方程．
2?x2z??1???z?y4?3??y?0?（1）? 绕x轴及z轴旋转 （2）?x?0 绕y轴及z轴旋转
?x2?y2?1?（3）?z?0 绕x轴及y轴旋转
x22解：（1）3?2y242?z24?12x2 32?y232?z24?122 （2）x?z?y z?4x?y22
（3）x?y?z?1 x?y?z?1
29．说出下列方程所表示的曲面的名称，并作简图，若为旋转曲面，说明它们是如何形成的． （1）x?2y?1 （2）x?2y?z （3）2x?2y?z （4）x?2y?z （5）x?2y?1?z （6）x?2y?1?z 解：（1）母线平行于z轴的椭圆柱面 （2）椭圆抛物面
2（3）旋转抛物面；由yoz(或xoz)坐标面上的曲线z?2y(或z?2x)绕z轴旋转而成． （4）椭圆锥面； （5）双叶双曲面；
2222222222222222（6）旋转椭球面；由xoy(或yoz)坐标面上的椭圆x?2y?1(或2y?z?1)绕y轴旋转而成． 30．下列方程组各表示什么曲线？
?x2?4y2?8z?x2?y2?z2?25?x2?4y2?9z2?36?x2?4y2?4z????z?8x?3y?1（1）? （2）?（3）? （4）?y??2
解：（1）双曲线 （2）圆 （3）椭圆 （4）抛物线 31．求下列曲线在指定坐标面上的投影曲线方程．
??x2?y2?z?0?x?y?z?1?2?22?x?(y?1)?(z?1)?1z?x?1??（1） 在xoy坐标面 （2）在xoy坐标面
5
2222222