内容发布更新时间 : 2024/5/18 17:03:14星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

4.2.3 直线与圆的方程的应用

一、教材分析

直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用.本小节设置了一些例题,分别说明直线与圆的方程在实际生活中的应用,以及用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程. 二、教学目标

1．知识与技能

（1）理解掌握，直线与圆的方程在实际生活中的应用. （2）会用“数形结合”的数学思想解决问题. 2．过程与方法

用坐标法解决几何问题的步骤：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论. 3．情态与价值观

让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力. 三、教学重点与难点

教学重点：求圆的应用性问题. 教学难点：直线与圆的方程的应用. 四、课时安排

1课时 五、教学设计 （一）导入新课

思路1.如图1,某城市中的高空观览车的高度是100 m,

图1

在离观览车约150 m处有一建筑物,某人在离建筑物100 m的地方刚好可以看到观览车,你根据上述数据,如何求出该建筑物的高度？要解决这个问题,我们继续研究直线与圆的方程的应用,教师板书课题:直线与圆的方程的应用.

思路2.同学们,前面我们学习了圆的方程、直线与圆的位置关系、圆和圆的位置关系,那么如何利用这些关系来解决一些问题,怎样解决?带着这些问题我们学习直线与圆的方程的应用.教师板书课题:直线与圆的方程的应用.

（二）推进新课、新知探究、提出问题

①你能说出直线与圆的位置关系吗？

②解决直线与圆的位置关系,你将采用什么方法？

③阅读并思考教科书上的例4,你将选择什么方法解决例4的问题？ ④你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？ ⑤你能利用“坐标法”解决例5吗？

活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,发散思维.①学生回顾学习的直线与圆的位置关系的种类；②解决直线与圆的位置关系,可以采取两种方法；③首先考虑问题的实际意义,如果本题出在初中,我们没

有考虑的余地,只有几何法,在这里当然可以考虑用坐标法,两种方法比较可知哪个简单；④回顾圆的定义可知确定一个圆的方程的条件；⑤利用“坐标法”解决问题的关键是建立适当的坐标系,再利用代数与几何元素的相互转化得到结论.

讨论结果：①直线与圆的位置关系有三类:相交、相切、相离.

②解决直线与圆的位置关系,将采用代数和几何两种方法,多数情况下采用圆心到直线的距离与半径的关系来解决.

③阅读并思考教科书上的例4,先用代数方法及坐标法,再用几何法,作一比较. ④你能分析一下确定一个圆的方程的要点,圆心坐标和半径,有时关于D、E、F的三个独立的条件也可. ⑤建立适当的坐标系,具体解法我们在例题中展开.

（三）应用示例

思路1

例1 讲解课本4.2节例4,解法一见课本.

图2

解法二：如图2,过P2作P2H⊥OP.由已知,|OP|=4,|OA|=10.

222222

在Rt△AOC中,有|CA|=|CO|+|OA|设拱圆所在的圆的半径为r,则有r=(r-4)+10. 解得r=14.5.

222

在Rt△CP2H中,有|CP2|=|CH|+|P2H|.

2222

因为|P2H|=|OA2|=2,于是有|CH|=r-|OA2|=14.5-4=206.25.

又|OC|=14.5-4=10.5,于是有|OH|=|CH|-|CO|=206.25-10.5≈14.36-10.5=3.86.

所以支柱A2P2的长度约为3.86 cm.

点评：通过课本解法我们总结利用坐标法解决几何问题的步骤是：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.

把两种解法比较可以看出坐标法通俗易懂,几何法较难想,繁琐,因此解题时要有所选择. 变式训练

已知圆内接四边形的对角线互相垂直,求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.

图3

解:如图3,以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、DB所在直线分别为x轴、y轴,建立适当的平面直角坐标系,设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).

过四边形ABCD的外接圆的圆心O1分别作AC、BD、AD的垂线,垂足分别为M、N、E,则M、N、E分别为线段AC、BD、AD的中点,由线段的中点坐标公式,得xO=xm=

1a?cb?dad,yO=yn=,xE=,yE=.

12222所以|O1E|=(aca2bdd212??)?(??)?b?c2. 22222221|BC|. 2又|BC|=b2?c2,所以|O1E|=

点评:用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素、点、直线、圆.将几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算解决代数问题,最后解释代数运算结果的几何意义,得到几何问题的结论.

例2 有一种大型商品,A、B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍,已知A、B两地相距10 km,居民选择A或B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.

活动：学生先审题,然后思考或讨论,学生有困难教师可以提示引导,建立适当的坐标系,这里以AB所在直线为x轴,线段AB的中点为原点建立直角坐标系较简单,假设一点距A地近,且费用低,列方程或不等式.

解:以AB所在直线为x轴,线段AB的中点为原点建立直角坐标系,则A(－5,0),B(5,0).设某地P的坐标为(x,y),且P地居民选择A地购买商品的费用较低,并设A地的运费为3a元/km,则B地运费为a元/km.由于P地居民购买商品的总费用满足条件：价格+A地运费≤价格+B地运费,

2222即3a(x?5)?y≤a(x?5)?y,整理得(x+

2522152

)+y≤(). 44所以以点C(-

2515,0)为圆心,为半径的圆就是两地居民购货的分界线.圆内的居民从A地购货费用44较低,圆外的居民从B地购货费用较低,圆上的居民从A、B两地购货的总费用相等,因此可以随意从A、B

两地之一购货.

点评:在学习中要注意联系实际,重视数学在生产、生活和相关学科中的应用,解决有关实际问题时,关键要明确题意,掌握建立数学模型的基本方法.

思路2

22

例1 求通过直线2x-y+3=0与圆x+y+2x-4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程.

活动:学生思考或交流,教师提示引导,求圆的方程无非有两种方法:代数法和几何法. 解法一:利用过两曲线交点的曲线系,

22

设圆的方程为x+y+2x-4y+1+λ(2x-y+3)=0,

?2?22

)=(1+λ)+(2+)-3λ-1, 2252219252

∵r=λ+λ+4=(λ+)+,

4455配方得标准式(x+1+λ)+(y-2-2

∴当λ=-

219时,半径r=最小. 552

2

∴所求面积最小的圆的方程为5x+5y+6x-18y-1=0.

解法二:利用平面几何知识,

以直线与圆的交点A(x1,y1),B(x2,y2)连线为直径的圆符合要求. 由??2x?y?3?0,22?x?y?2x?4y?1?0,消去y,得5x+6x-2=0.

2