新课标A版高中数学必修5:第一章++解三角形+单元同步测试(含解析) 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/11/1 7:29:00星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

解析 由A+B+C=180°,得B=75°,∴c为最小边,由正弦bsinC4sin45°

定理,知c=sinB=sin75°=4(3-1).

答案 4(3-1)

14.在△ABC中,若b=2a,B=A+60°,则A=________. 解析 由B=A+60°,得

13sinB=sin(A+60°)=2sinA+2cosA. 又由b=2a,知sinB=2sinA. 13

∴2sinA=2sinA+2cosA. 33

即2sinA=2cosA. 3

∵cosA≠0,∴tanA=3. ∵0°

15.在△ABC中,A+C=2B,BC=5,且△ABC的面积为103,则B=________,AB=________.

解析 由A+C=2B及A+B+C=180°,得B=60°. 1

又S=2AB·BC·sinB,

1

∴10 3=2AB×5×sin60°,∴AB=8. 答案 60° 8

16.在△ABC中,已知(b+c):(c+a):(a+b)=8:9:10,则sinA:sinB:sinC=________.

解析

b+c=8k,??

设?c+a=9k,??a+b=10k,

可得a:b:c=11:9:7.

∴sinA:sinB:sinC=11:9:7. 答案 11:9:7

三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)在非等腰△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2=b(b+c).

(1)求证:A=2B;

(2)若a=3b,试判断△ABC的形状.

解 (1)证明:在△ABC中,∵a2=b·(b+c)=b2+bc,由余弦定a2+c2-b2bc+c2b+casinA

理,得cosB=2ac=2ac=2a=2b=2sinB,

∴sinA=2sinBcosB=sin2B. 则A=2B或A+2B=π.

若A+2B=π,又A+B+C=π,∴B=C.这与已知相矛盾,故A=2B.

(2)∵a=3b,由a2=b(b+c),得3b2=b2+bc,∴c=2b. 又a2+b2=4b2=c2. 故△ABC为直角三角形.

18.(12分)锐角三角形ABC中,边a,b是方程x2-23x+2=0的两根,角A,B满足2sin(A+B)-3=0.求:

(1)角C的度数;

(2)边c的长度及△ABC的面积.

3

解 (1)由2sin(A+B)-3=0,得sin(A+B)=2. ∵△ABC为锐角三角形,∴A+B=120°,∴∠C=60°. (2)∵a,b是方程x2-23x+2=0的两个根, ∴a+b=23,ab=2.

∴c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab=12-6=6. ∴c=6.

1133S△ABC=2absinC=2×2×2=2.

19.(12分)如右图,某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°,距离为126 nmile,在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°,距离为83 nmile,货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在北偏东120°,求:

(1)A处与D处的距离; (2)灯塔C与D处的距离.

解 (1)在△ABD中,∠ADB=60°,B=45°,AB=12 6,由2

126×2

ABsinB

正弦定理,得AD===24(nmile).

sin∠ADB3

2

(2)在△ADC中,由余弦定理,得 CD2=AD2+AC2-2AD·AC·cos30°. 解得CD=83(nmile).

∴A处与D处的距离为24 nmile,灯塔C与D处的距离为83 nmile.

20.(12分)已知△ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).

(1)若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形;

π

(2)若m⊥p,边长c=2,角C=3,求△ABC的面积. 解 (1)证明:∵m∥n,∴asinA=bsinB.

ab

由正弦定得知,sinA=2R,sinB=2R(其中R为△ABC外接圆的ab

半径),代入上式,得a· 2R=b·2R,∴a=b.故△ABC为等腰三角形.

(2)∵m⊥p,∴m·p=0,∴a(b-2)+b(a-2)=0,∴a+b=ab. 由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得 4=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0. 解得ab=4,ab=-1(舍去).

11π

∴△ABC的面积S=2absinC=2×4×sin3=3.

π

21.(12分)在△ABC中,已知内角A=3,边BC=23,设内角B=x,周长为y.

(1)求函数y=f(x)的解析式和定义域; (2)求y的最大值.

π

解 (1)△ABC的内角和A+B+C=π,由A=3,B>0,C>0,得

0

BC23AC=sinA·sinB=π·sinx=4sinx.

sin3

?2π?BC

?AB=sinAsinC=4sin3-x?. ??

∵y=AB+BC+CA,

2π??2π??

∴y=4sinx+4sin?3-x?+23?0

????31

(2)y=4(sinx+2cosx+2sinx)+23 π

=43sin(x+6)+23. ππ5π∵6

πππ

∴当x+6=2,即x=3时,y取得最大值63.

22.(12分)△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,tanCsinA+sinB=,sin(B-A)=cosC. cosA+cosB

(1)求A,C;

(2)若S△ABC=3+3,求a,c. sinA+sinB

解 (1)因为tanC=,

cosA+cosBsinCsinA+sinB即cosC=,

cosA+cosB

所以sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB,

即sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB,得sin(C-A)=sin(B-C).