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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第三章 推理与证明章末分
层突破学案 北师大版选修1-2
[自我校对] ①合情推理 ②间接证明 ③归纳推理 ④综合法
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合情推理
1.归纳推理的特点及一般步骤
2．类比推理的特点及一般步骤
131151117
(1)观察式子：1＋2<，1＋2＋2<，1＋2＋2＋2<，…，由此可归纳出的
222332344
式子为( )
1111
A．1＋2＋2＋…＋2<
23n2n－11111B．1＋2＋2＋…＋2<
23n2n＋11112n－1C．1＋2＋2＋…＋2<
23nn1112nD．1＋2＋2＋…＋2<
23n2n＋1
(2)两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆2π?4π???时，有相应正确关系为sin α＋sin?α＋?＋sin?α＋?＝0，由此可以推知，四点等
3?3???分单位圆时的相应正确关系为__________．
【精彩点拨】 (1)观察各式特点，找准相关点，归纳即得． (2)观察各角的正弦值之间的关系得出结论．
1112n－1
【规范解答】 (1)由各式特点，可得1＋2＋2＋…＋2<.故选C.
23nn(2)用两点等分单位圆时，关系为sin α＋sin(π＋α)＝0，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差为(π＋α)－α＝π，
2π?4π???用三点等分单位圆时，关系为sin α＋sin?α＋?＋sin?α＋?＝0，此时三个角
3?3???的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差4π??2π??2π?2π?相等，即有?α＋?－?α＋?＝?α＋?－α＝.
3??3??3?3?
依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为α，第2πππ2π2π
二个角为＋α＝＋α，第三个角为＋α＋＝π＋α，第四个角为π＋α＋＝
42244π?3π?3π??＋α，即其关系为sin α＋sin?α＋?＋sin(α＋π)＋sin?α＋?＝0.
2?2?2??
π?3π??【答案】 (1)C (2)sin α＋sin?α＋?＋sin(α＋π)＋sin?α＋2?2??
?＝0
??
[再练一题]
?1?44
1．已知函数y＝sinx＋cosx(x∈R)的值域是?，1?，则
?2?
(1)函数y＝sin x＋cosx(x∈R)的值域是__________；
(2)类比上述结论，函数y＝sin x＋cosx(n∈N＋)的值域是__________．
【解析】 (1)y＝sinx＋cosx＝(sinx＋cosx)(sinx－sin xcos x＋cos x)＝sinx32322422222
－sinxcos x＋cosx＝(sin x＋cos x)－3sinxcosx＝1－sin(2x)＝1－(1－cos 4x)
48
53?1?＝＋cos 4x∈?，1?.
88?4?
(2)由类比可知，y＝sinx＋cosx的值域是[2
2n2n1－n,6
6
2
2
4
2
2
4
4
2n2n6
6
1]．
?1?1－n,【答案】 (1)?，1? (2)[21]
?4?
综合法与分析法
1.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式．
2．分析法和综合法是两种思路相反的推理方法．分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．
111
设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.试用综合法和分析法分别证明．
abab111
【精彩点拨】 (1)综合法：根据a＋b＝1，分别求＋与的最小值．
abab1a＋b11
(2)分析法：把变形为＝＋求证．
ababab【规范解答】 法一：(综合法) ∵a>0，b>0，a＋b＝1，
111
∴1＝a＋b≥2ab，ab≤，ab≤，∴≥4.
24ab11ba?11?又＋＝(a＋b)?＋?＝2＋＋≥4，
ab?ab?
ab1111??∴＋＋≥8?当且仅当a＝b＝时等号成立?.
2abab??法二：(分析法) ∵a>0，b>0，a＋b＝1，