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2016-2017学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2.1 双曲线
的简单几何性质高效测评 新人教A版选修1-1
一、选择题(每小题5分，共20分)
x2y2
1．已知双曲线2－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )
a5
A.
314
14
32B．
44D． 3
3C. 2
c32
解析： 由题意，知a＋5＝9，解得a＝2，e＝＝.
a2
答案： C
x2y21
2．双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率的值
ab2
为( )
A.2 C.5 2
B．5 D．2
b?21b1a2＋b25c255?解析： 由已知得＝，所以，??＝，故2＝，即2＝，所以e＝.
a2a4a42?a?4
答案： C
3．双曲线与椭圆4x＋y＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为( )
A．y－3x＝36 C．3y－x＝36
解析： 椭圆4x＋y＝64即
2
2
2
2
2
2
2
2
B．x－3y＝36 D．3x－y＝36
＋＝1，
16643， 2
23，
2
2
22
x2y2
焦点为(0，±43)，离心率为
所以双曲线的焦点在y轴上，c＝43，e＝所以a＝6，b＝12，
所以双曲线方程为y－3x＝36. 答案： A
2
2
2
x2y2
4．双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直
ab
1
线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为( )
A.6 C.2 解析：
B．3 D．
3 3
如图，在Rt△MF1F2中， ∠MF1F2＝30°，F1F2＝2c， 2c4
∴MF1＝＝3c，
cos 30°3
MF2＝2c2tan 30°＝
2
3c， 3
422c∴2a＝MF1－MF2＝3c－3c＝3c?e＝＝3，故选B.
333a答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
x2y2x2y2
5．已知双曲线C1：2－2＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且
ab416C1的右焦点为F(5，0)，则a＝________，b＝________.
解析： 利用共渐近线方程求解．
与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线的方程可设为－＝λ，即－＝1.
4164164λ16λ122
由题意知c＝5，则4λ＋16λ＝5?λ＝.则a＝1，b＝4.又a>0，b>0，故a＝1，b＝2.
4
答案： 1 2
x2y2x2y2x2y2
x2y2x2y2
6．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率
ab169
是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为____________．
解析： 由题意知双曲线的焦点为(－7，0)，(7，0)，即c＝7，又因为双曲线的27xy2
离心率为，所以a＝2，故b＝3，双曲线的方程为－＝1.
443
答案：
2
2
x2y2
4
－＝1
3
2
三、解答题(每小题10分，共20分) 7．根据以下条件，求双曲线的标准方程： (1)过P(3，－5)，离心率为2；
(2)过点P??9?2，－1???
，一条渐近线与直线2x－3y＝10平行． 解析： (1)若双曲线的焦点在x轴上，
x2y2
设双曲线方程为a2－b2＝1(a＞0，b＞0)．
∵e＝2，∴c222
a2＝2即a＝b.
又过点P(3，－5)有：95
a2－b2＝1，
由①②得：a2＝b2
＝4， 双曲线方程为x2y2
4－4＝1，
若双曲线的焦点在y轴上，
y2x2
设双曲线方程为a2－b2＝1(a＞0，b＞0)．
同理有：a2
＝b2
， 5
a2－9
b2＝1，
由①②得a2＝b2
＝－4(不合题意，舍去)． 综上，双曲线的标准方程为x2y2
4－4＝1.
(2)方法一：①若双曲线的焦点在x轴上，
设其方程为x2y2
a2－b2＝1(a＞0，b＞0)，
由已知得渐近线方程为y＝±23x，故ba＝2
3
，
又P??9??2，－1??
在双曲线上，
∴
814a－1
2b2＝1， 可解得a2
＝18，b2
＝8. ∴所求双曲线方程为x2－y2
188＝1.
②若双曲线的焦点在y轴上，
①②①②3