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普朗克黑体辐射公式的推导

所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。

辐射热平衡状态:处于某一温度T下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。 实验发现：

热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T有关而与黑体的形状和材料无关。 实验得到： 1.Wien公式

从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式： Wien公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。 2. Rayleigh-Jeans公式 Rayleigh-Jeans公式在低频区和实验相符，但是高频区公式与实验不符，并且?在

E??Evdv??，既单位体积的能量发散，而0实

验测得的黑体辐射的能量密度是E??T，该式4叫

做Stefan-Bolzmann公式，?叫做Stefan-Bolzmann常数。 3. Planck黑体辐射定律 1900年１２月１４日Planck提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。作为辐射原子的模型，Planck假定： （1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v振荡； （2）黑体只能以E=hv为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。 得到：

?8?h?3?1????d??d?该式称为Planck辐射定律 3??C?exp(h?/kT)?1?h为普朗克常数，h=6.626?104，普朗克的推导过程：

??i(K.r?wt)把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为?k(r,t)?Cke，

?34j.s

??1,2表示两个互相垂直的偏振方向，C?k为常系数

?,??d??内的自由度数为g???d?， 每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在?精心整理

则（0，v）范围内的总自由度数G(v)与g(v)的关系为G????借助几何方法求出G?????g???d?。

0?8?V38?V2??，取微分得?g?d???d? 333cc令E代表体积为V的空窖内热平衡辐射的总内能，u??,T?d?代表单位体积,频率间隔在??,??d??内的能量，

~~18?E于是??u??,T?d????g(?)d?，?代表频率为?的振子的平均能量，g???d??g????3?2d?代

VV0c0??表单位体积内频率间隔在??,??d??内的振动自由度数。

应用经典统计的能量均分定理得到平均能量为??KT与振子的频率无关，代入u?v,T?d???g???d?可以得到

~8?kT?2d?，这就是瑞利-金斯公式，在低频区和实验符合，高频区严重偏离。 3c~18?普朗克热辐射理论采用的也是波的观点，g???d??g????3?2d?依旧认为他正确，但是能量均分定理不Vcu?v,T?d??适用，原因在于麦克斯韦——波尔滋蔓分布不对，问题出在振子能量取连续值上。Planck假定：黑体只能以E=hv

为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量,对于频率为v的振子，其能量只能取一个最小能量单元的整数倍即???n????nh?，他认为振子的平均分布仍遵从麦克斯韦——玻尔兹曼分布，即an(?)?e?????????e?nnn?????n???代表频率为v对的振子处于能级?n?v?的平均数，于是振子的平均能量为???en?????n????????e?nnn?e???nn， 即???????lnZ??? ??其中Z?????en?0????n???代表频率为v的振子的配分函数，可以得到Z?????e?n?h??n?0?1。 1?e??h????????h?lnZ?????h????e?1~h?eh?kT由此可以知道振子的平均能量与其频率有关，能量均分定理不成立。

?1??d?得到： 把上式代入u?v,T?d???g?8?h?3d?u?v,T?d??3h?/kT这就是普朗克辐射公式。

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?辐射场

4?的内能为

8?E??u??,T?d??3cn?0h?3d?8??kT?,令x?hv/kT得E?3h?/kT??1ch3n?0ex38?5k4,5，4对Planck辐射定律dx?aT,其中a?x33?15hcn?0e?1?8?h?3?1??的讨论：??d???d? exp(h?/kT)?1C3???（1）当v很大（短波）时，因为exp(hv/kT)-1≈exp(hv/kT)，

于是

Planck定律化为Wien公式。

?8?h?38?h?3?1exp(?h?/kT)d? ????d??d?变为??d??33??Cexp(h?/kT)?1C??2）当v很小（长波）时，因为exp(hv/kT)-1≈1+(hv/kT)-1=(hv/kT)，则Planck定律变为Rayleigh-Jeans公式。 3）