内容发布更新时间 : 2026/2/1 12:51:58星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第一、二章滚动测试
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
→
1．设A(1,2)，B(－2,5)，则|AB|＝( ) A.5 B.29 C．3 2 D．4 答案：C
→→
解析：AB＝(－2,5)－(1,2)＝(－3,3)，∴|AB|＝?－3?2＋32＝3 2.
2．如果函数f(x)＝sin(2πx＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T，且当x＝1时取得最大值，那么( )
π
A．T＝1，θ＝ B．T＝1，θ＝π
2
π
C．T＝2，θ＝π D．T＝2，θ＝ 2
答案：A
2ππ
解析：T＝＝1，sin(2π＋θ)＝1，θ＝.
2π2
π2
－，0?，则tanα等于( ) 3．已知sin(α－π)＝，且α∈??2?3
2525A. B．－
5555C. D．－ 22答案：B
225225
解析：sin(α－π)＝－sinα＝，∴sinα＝－，cosα＝，∴tanα＝－＝－. 33355cosα2sinα
4．若角α的终边落在第三象限，则＋的值为( )
1－sin2α1－cos2α
A．3 B．－3 C．1 D．－1 答案：B
解析：由角α的终边落在第三象限得sinα<0，cosα<0，
cosα2sinαcosα2sinα
故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.
|cosα||sinα|－cosα－sinα
→→
5．已知平面内三点A(－1,0)，B(5,6)，P(3,4)，且AP＝λPB，则λ的值为( ) A．3 B．2 11C. D. 23答案：B
→→
解析：因为AP＝λPB，所以(4,4)＝λ(2,2)，所以λ＝2.
11
6．已知sinα－cosα＝，则tanα＋等于( )
3tanα
87A. B. 93911C. D. 44答案：C
1114
解析：由sinα－cosα＝可得(sinα－cosα)2＝，即1－2sinαcosα＝，sinαcosα＝，则tanα
3999
＋
1sinαcosα19＝＋＝＝. tanαcosαsinαsinαcosα4
π
7．将函数y＝f(x)的图象沿x轴向右平移个单位长度，再保持图象上的纵坐标不变，而
3
横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y＝sinx的图象相同，则y＝f(x)是( )
ππ2x＋? B．y＝sin?2x－? A．y＝sin?3?3???
2π2π2x＋? D．y＝sin?2x－? C．y＝sin?3?3???
答案：C
解析：将y＝sinx的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的一半，得到y＝sin2x的图象，
π2π
x＋?＝sin?2x＋π?的图象． 再沿x轴向左平移个单位，得到y＝sin2?3??3??3
→→
8．设i、j是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的单位向量，且AB＝8i＋4j，AC＝6i＋8j，则△ABC的面积等于( )
A．60 B．40 C．28 D．20 答案：D
→→→→→
解析：BC＝AC－AB＝－2i＋4j，所以AB⊥BC.
1→→122
所以S△ABC＝|AB|·|BC|＝8＋4·?－2?2＋42＝20.
22
π
9．若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜，x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为
2
( )
ππ?A．y＝－4sin??8x＋4? ππ?B．y＝4sin??8x－4?
ππ?
C．y＝－4sin??8x－4?
ππ?
D．y＝4sin??8x＋4? 答案：A
ππ
解析：先确定A＝－4，由x＝－2和6时y＝0可得T＝16，ω＝，φ＝. 84
10．已知函数f(x)＝3sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是( )
π5π
kπ－，kπ＋?，k∈Z A.?1212??
5π11π
kπ＋，kπ＋?，k∈Z B.?1212??
ππ
kπ－，kπ＋?，k∈Z C.?36??
π2π
kπ＋，kπ＋?，k∈Z D.?63??
答案：C
π
ωx＋?的图象与直线y＝2解析：本题主要考查三角函数的图象与性质．函数f(x)＝2sin?6??π2π
2x＋?.的两个相邻交点就是函数f(x)的两个最大值点，周期为π＝，ω＝2，于是f(x)＝2sin?6??ω
πππππ
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋得，kπ－≤x≤kπ＋，故选C.
26236
11．设向量a与b的夹角为θ，定义a与b的“向量积”，a×b是一个向量，它的模等于|a×b|＝|a||b|sinθ，若a＝(1，3)，b＝(－3，－1)，则|a×b|＝( )
A.3 B．2 C．2 3 D．4 答案：B
a·b－2 331
解析：∵cosθ＝＝＝－，又θ∈[0，π]，∴sinθ＝1－cos2θ＝，|a×b|＝
|a|·|b|2×222
|a|·|b|sinθ＝2.
12．已知a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是( )
1010A．λ< B．λ≤
33106106
C．λ≤且λ≠－ D．λ<且λ≠－
3535
答案：D
10
解析：由题可知a·b＝－3λ＋10>0，λ<，当a与b共线，且方向相同时，设a＝(λ，
3
??λ＝－3μ，6106
2)＝μ(－3,5)(μ>0)，∴?得λ＝－，∴λ的取值范围是λ<且λ≠－.
535?2＝5μ，?
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4(a，b，α，β是常数)，且f(2009)＝5，则f(2010)＝________.
答案：3
解析：f(2009)＝αsin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋4＝－(asinα＋bcosβ)＋4＝5 ∴asinα＋bcosβ＝－1.f(2010)＝asinα＋bcosβ＋4＝3.
14．已知a＝(2,1)b＝(1，λ)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．
11
－2，?∪?，＋∞? 答案：?2??2??
2＋λa·b
解析：若a与b的夹角为锐角，则cosθ>0且cosθ≠1.cosθ＝＝∴λ>－2.
|a|·|b|5·1＋λ2
11
又2＋λ≠5·1＋λ2∴λ≠∴λ的范围是λ>－2且λ≠.
22ππ
ωx＋?(x∈R)，f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－β|的最小值等于，则正15．函数f(x)＝2sin?3??2
数ω的值为________．
答案：1
πTπ
解析：由f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－β|的最小值等于可知＝，T＝2π，∴ω＝1.
242
→→→
16．如图，在正方形ABCD中，已知|AB|＝2，若N为正方形内(含边界)任意一点，则AB·AN的最大值是________．
答案：4
→→→→→→→→
解析：∵AB·AN＝|AB||AN|·cos∠BAN，|AN|·cos∠BAN表示AN在AB方向上的投影，又|AB→→|＝2，AB·AN的最大值是4.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
2sin?α－π?＋3tan?3π－α?4
17．(10分)已知sin(α＋π)＝，且sinα·cosα＜0，求：的值．
54cos?α－3π?
4
解：∵sin(α＋π)＝
5
4
∴sinα＝－＜0.
5
169
∴cos2α＝1－sin2α＝1－＝
2525
又sinα·cosα＜0
3
∴cosα＞0.∴cosα＝. 5
3sin?π－α?
－2sin?π－α?＋cos?π－α?
原式＝ 4·cos?π－α?3sinα
－2sinα＋
－cosα
＝ －4·cosα2sinα·cosα＋3sinα＝ 4cos2α434－?×－×32×??5?557＝＝－. 934×25
π?π?＝1. x＋?－tanα·18．(12分)已知f(x)＝sin?cosx，且f?6??3?2
(1)求tanα的值；
(2)求函数g(x)＝f(x)＋cosx的对称轴与对称中心．
π?π11?π＋π?－tanα·解：(1)∵f?＝sincos＝1－tanα＝，∴tanα＝1. ?3??36?322
ππx＋?－cosx＋cosx＝sin?x＋?. (2)g(x)＝f(x)＋cosx＝sin??6??6?πππ
∴x＋＝kπ＋，即对称轴：x＝kπ＋，k∈Z
623
ππ
kπ－，0?，k∈Z. ∴x＋＝kπ，即对称中心：?6??6
19．(12分)设两个向量a，b不共线．
→→→
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线； (2)若 |a|＝2，|b|＝3，a、b的夹角为60°，求使向量ka＋b与a＋kb垂直的实数k.
→→→→→
解：(1)AD＝AB＋BC＋CD＝a＋b＋2a＋8b＋3(a－b)＝6(a＋b)＝6AB， →→
∴AD与AB共线，即A、B、D三点共线． (2)∵ka＋b与a＋kb垂直， ∴(ka＋b)·(a＋kb)＝0，ka2＋(k2＋1)a·b＋kb2＝0， ka2＋(k2＋1)|a||b|·cos60°＋kb2＝0， 3k2＋13k＋3＝0，
－13±133
解得：k＝. 6
π
A>0，ω>0，|φ|
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数在区间[－2,4]上的最大值和最小值以及对应的x的值．
T
解：(1)由题可知A＝2，＝6－(－2)＝8，∴T＝16，
2π2ππ
x＋φ?. ∴ω＝＝，则f(x)＝2sin??8?T8
π
又图象过点(2，2)，代入函数表达式可得φ＝2kπ＋(k∈Z)．
4
ππ?ππ
又|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin??8x＋4?. 24
3πππ
0，?， (2)∵x∈[－2,4]，∴x＋∈?4?84?
πππ
当x＋＝，即x＝2时，f(x)max＝2； 842ππ
当x＋＝0，即x＝－2时，f(x)min＝0. 84
→→→
21．(12分)已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP＝OA＋tAB， 求：(1)t为何值时，P在第二象限？
(2)四边形OABP能否构成平行四边形？若能，求出相应的值，若不能，请说明理由．
→→→
解：(1)∵OP＝OA＋tAB＝(3t＋1,3t＋2)，
21
∴当－ 33 (2)不能构成四边形． →→ ∵OA＝(1,2)，PB＝(3－3t,3－3t)， →→→ ∴使OA，PB共线，则3－3t－(6－6t)＝0，解得t＝1，此时PB＝(0,0)，∴四边形OABP不能构成平行四边形． π 2x＋?＋1. 22．(12分)已知函数f(x)＝2sin?3?? 4 (1)当x＝π时，求f(x)值； 3 (2)若存在区间[a，b](a，b∈R且a 4ππ4 2×＋?＋1＝2sin(3π)＋1＝2sinπ＋1＝1. 解：(1)当x＝π时，f(x)＝2sin?33??3 π1π7 2x＋?＝－?x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z， (2)f(x)＝0?sin?3??2412 π2π 即f(x)的零点相离间隔依次为和， 33 2ππ7π 故若y＝f(x)在[a，b]上至少含有6个零点，则b－a的最小值为2×＋3×＝. 333