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2017年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

（考试时间：5月14日上午8：30－11：00）

一、选择题（每小题6分，共36分）

x?2??1．已知集合A??x?0，x?Z?，则集合A中所有元素的和为（ ）

x?3??A．?1 B．0 C．2 D．3 【答案】 B 【解答】由

x?2?0，得?2?x?3。又x?Z。因此A???2，?1，，01，2?。 x?3所以，集合A中所有元素的和为0。

2．已知正三棱锥A?BCD的三条侧棱AB、AC、AD两两互相垂直，若三棱锥A?BCD外接球的表面积为3?，则三棱锥A?BCD的体积为（ ）

4211 A． B． C． D．

3369A【答案】 C

【解答】设AB?AC?AD?a，则三棱锥A?BCD外接球的半径R?BCD3a。 23。 2由4?R2?3?，得R?（第2题图）

11∴ a?1，三棱锥A?BCD的体积V?a3?。

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3．已知x为实数，若存在实数y，使得2x?y?0，且xy?2x?3y，则x的取值范围为（ ）

?3)?(0，??) B．(0，2)?(4，??) A．(?4，?4)?(?3，0) D．(??，0)?(2，4) C．(??，【答案】 C 【解答】 由xy?2x?3y，得y?∵ 2x?y?0， ∴ 2x?2xx(x?4)?0，即?0，解得x??4或?3?x?0。 x?3x?32x x?3?4)?(?3，0)。 ∴ x的取值范围为(??，

4．m、n是两条不重合的直线，?、?是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的命题的个数是（ ）

（1）对m、n外任意一点P，存在过点P且与m、n都相交的直线； （2）若m??，n∥m，n∥?，则???； （3）若m??，n??，且???，则m?n； （4）若m∥?，n∥?，m∥?，n∥?，则?∥?。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 B

【解答】（1）不正确。如图，在正方体ABCD?A1BC11D1中，取m为直线BD，过点A的直线l如果与直线BDn为直线AC11。相交，则l在面ABCD内，此时l与直线AC11不相交。

（2）、（3）正确。

D1A1DAEFB（第4题图）

C1B1C（4）不正确。如图，正方体ABCD?A1BC11D1的面ABCD内取两条与BC平行的直线，如图中的直线AD与EF，则有AD∥面BCC1B1，EF∥面BCC1B1，AD∥面A1B1C1D1，

EF∥面A1B1C1D1，但面BCC1B1与面A1B1C1D1相交而不平行。

5．已知函数f(x)?(x2?2x)(x2?mx?n)，若对任意实数x均有f(?3?x)?f(?3?x)，则

f(x)的最小值为（ ）

A．?16 B．?14 C．?12 D．?10 【答案】 A

【解答】 依题意，f(x)的图像关于直线x??3对称。 ∴ f(?6)?f(0)?0，f(?4)?f(?2)?0。

?24(36?6m?n)?0?m?10于是，?，解得?。

?8(16?4m?n)?0?n?24m?10，n?24时，

f(x)?(x2?2x)(x2?10x?24)?x(x?2)(x?4)(x?6)?(x2?6x)(x2?6x?8)。

22??(x?3)?9?8(x?3)?9?∴ f(x)?(x2?6x)2?8(x2?6x)??????，

22即f(x)?(x?3)?10(x?3)?9???(x?3)?5???16。

422此时，f(?3?x)?(x2?5)2?16，f(?3?x)?(x2?5)2?16，符合题意。 ∴ (x?3)2?5?0，即x??3?5时，f(x)取最小值?16。

2c?R，b，?2c?1，6．已知a，若a2?b且(a?(1)b(1)?1)c??abc，则a的最小值为（ ）

1111A．? B．? C．? D．?

6543【答案】 D

【解答】 由(a?1)(b?1)(c?1)?abc，得abc?ab?bc?ca?a?b?c?1?abc。 ∴ ab?bc?ca?a?b?c?1。 设a?b?c?x，则ab?bc?ca?x?1。

∵ a2?b2?c2?(a?b?c)2?2(ab?bc?ca)?1，

∴ x2?2(x?1)?1，解得x?1，即a?b?c?1，ab?bc?ca?0。 ∴ ab?(a?b)c?0，即ab?(a?b)(1?a?b)?0。 ∴ a2?b2?ab?a?b?0，即b2?(a?1)b?a2?a?0。 由a，b?R知，△?(a?1)2?4(a2?a)?0。

11∴ 3a2?2a?1?0，解得??a?1。因此，a??。

3312又当a??时，代入前面解得，b?c?。符合题设要求。

331∴ a的最小值为?。

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