内容发布更新时间 : 2024/11/1 6:52:23星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
专题九 反比例函数与几何图形综合题
反比例函数与三角形
【例1】 (2016·重庆)如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A,B两点,与x轴交于点C,与y轴交于点D,点B的坐标是(m,
3
-4),连接AO,AO=5,sin∠AOC=.
5
(1)求反比例函数的解析式; (2)连接OB,求△AOB的面积.
分析:(1)过点A作AE⊥x轴于点E,通过解直角三角形求出线段AE,OE的长度,得出点A的坐标,即可求出反比例函数解析式;(2)先求出点B的坐标,再求直线AB的解析式,从而可求出点C的坐标,再利用三角形的面积公式即可得出结论.
k
解:(1)过点A作AE⊥x轴于点E,设反比例函数解析式为y=.∵AE⊥x轴,∴∠AEO
x
322
=90°.在Rt△AEO中,AO=5,sin∠AOC=,∴AE=AO·sin∠AOC=3,OE=AO-AE=4,
5
12
∴点A的坐标为(-4,3),可求反比例函数解析式为y=-
x
(2)易求B(3,-4),可求直线AB的解析式为y=-x-1.令一次函数y=-x-1中y=
11
0,则0=-x-1,解得x=-1,∴C(-1,0),∴S△AOB=OC·(yA-yB)=×1×[3-(-4)]
22
7= 2
反比例函数与四边形
【例2】 (2016·恩施)如图,直角三角板ABC放在平面直角坐标系中,直角边AB垂
43
直于x轴,垂足为点Q,已知∠ACB=60°,点A,C,P均在反比例函数y=的图象上,
x
分别作PF⊥x轴于点F,AD⊥y轴于点D,延长DA,FP交于点E,且点P为EF的中点.
(1)求点B的坐标;
(2)求四边形AOPE的面积.
b43
分析:(1)设点A(a,b),则tan60°==3,b=,联立可求点A的坐标,从而
aa
得出点C,B的坐标;
(2)先求出AQ,PF的长,从而可求点P的坐标和S△OPF,再求出S矩形DEFO,根据S四边形AOPE
=S矩形DEFO-S△AOD-S△OPF,代入计算即可.
解:(1)∵∠ACB=60°,∴∠AOQ=60°,∴tan60°=
AQ
=3,设点A(a,b),则OQ
b??a=3,?a=2,?a=-2,
或?(不合题意,舍去),∴点A的坐标是(2,2?43解得?b=23b=-23??
b=,??a
3),∴
点C的坐标是(-2,-23),∴点B的坐标是(2,-23)
(2)∵点A的坐标是(2,23),∴AQ=23,∴EF=AQ=23,∵点P为EF的中点,∴
43
PF=3,设点P的坐标是(m,n),则n=3,∵点P在反比例函数y=的图象上,∴3
x431=,S△OPF=|43|=23,∴m=4,∴OF=4,∴S
m2
矩形DEFO
=OF·OD=4×23=83,∵
四边形AOPE
431点A在反比例函数y=的图象上,∴S△AOD=|43|=23,∴S
x2-S△OPF=83-23-23=43
=S
矩形DEFO
-S△AOD
m
1.(2016·泸州)如图,一次函数y=kx+b(k<0)与反比例函数y=的图象相交于A,
x
B两点,一次函数的图象与y轴相交于点C,已知点A(4,1).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)连接OB(O是坐标原点),若△BOC的面积为3,求该一次函数的解析式.
4
解:(1)y= (2)∵一次函数y=kx+b(k<0)经过点A(4,1),∴4k+b=1,即b=1
x4??y=,112
-4k,联立?x得kx+(1-4k)x-4=0,解得x=4或-,∴点B(-,-4k),
kk
??y=kx+1-4k
111
又点C(0,1-4k),而k<0,∴->0,1-4k>0,∴S△BOC=×(-)×(1-4k)=3,∴k
k2k
11
=-,∴b=1-4k=3,∴该一次函数解析式为y=-x+3
22
2.(2016·宁夏)如图,Rt△ABO的顶点O在坐标原点,点B在x轴上,∠ABO=90°,
k
∠AOB=30°,OB=23,反比例函数y=(x>0)的图象经过OA的中点C,交AB于点D.
x
(1)求反比例函数的关系式;
(2)连接CD,求四边形CDBO的面积.
3
OB=2,作CE⊥OB于E,3
11
∵∠ABO=90°,∴CE∥AB,∵OC=AC,∴OE=BE=OB=3,CE=AB=1,∴C(3,1),
22
解:(1)∵∠ABO=90°,∠AOB=30°,OB=23,∴AB=可求反比例函数的关系式为y=
坐标为23,代入y=
ACD
3
(2)∵OB=23,∴点D的横 x
31113
得y=,∴D(23,),∴BD=,∵AB=2,∴AD=,∴S△x2222
四边形CDBO
11333
=AD·BE=××3=,∴S22241331
=S△AOB-S△ACD=OB·AB-=×23×2-
242
3353
= 44
1.(导学号 59042305)(2016·东营)如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交于
m
点B,与y轴交于点A,与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C,CE⊥x轴,垂足为
x
1
点E,tan∠ABO=,OB=4,OE=2.
2
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点D是反比例函数图象在第四象限上的点,过点D作DF⊥y轴,垂足为点F,连接OD,BF,如果S△BAF=4S△DFO,求点D的坐标.
解:(1)∵OB=4,OE=2,∴BE=OB+OE=6.∵CE⊥x轴,∴∠CEB=90°.在Rt△BEC
11
中,BE=6,tan∠ABO=,∴CE=BE·tan∠ABO=6×=3,∴C(-2,3),可求反比例函数
226
的解析式为y=- x
66
(2)∵点D在反比例函数y=- 第四象限的图象上,∴设点D的坐标为(n,-)(n>
xn