内容发布更新时间 : 2025/11/8 18:48:01星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
2.3 一元二次方程
学用P17 [过关演练] (30分钟 70分)
1.(2018·山东临沂)一元二次方程y-y-=0配方后可化为
2
(B)
A.=1 B.=1
C. D.
【解析】将一元二次方程y-y-=0配方后可化为2.若1-A.-2
是方程x-2x+c=0的一个根,则c的值为
B.4
2
2
=1.
(A) D.1+,∴(1- )-2(1-2
-2
2
C.3-
【解析】∵关于x的方程x-2x+c=0的一个根是1-)+c=0,解得c=-2. (D)
3.(2018·山东泰安)一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5根的情况是 A.无实数根
B.有一个正根,一个负根 C.有两个正根,且都小于3 D.有两个正根,且有一根大于3
【解析】(x+1)(x-3)=2x-5,整理得x-4x+2=0,即(x-2)=2,解得x1=2+2
2
>3,x2=2-,故有两
个正根,且有一根大于3.
2
4.已知关于x的一元二次方程x+2x+m-2=0有两个实数根,m为正整数,且该方程的根都是整数,则符合条件的所有正整数m的和为 (B) A.6 B.5 C.4 D.3
2
【解析】∵a=1,b=2,c=m-2,关于x的一元二次方程x+2x+m-2=0有实数根,∴Δ=b2-4ac=22-4(m-2)=12-4m≥0,∴m≤3.∵m为正整数,且该方程的根都是整数,∴m=2或3.∴2+3=5.
222222
5.若(a+b)(a+b-2)=8,则a+b的值为(B) A.4或-2 B.4 C.-2 D.-4
222222
【解析】设a+b=x,可得x(x-2)=8,解得x1=4,x2=-2,因为a+b的值为非负数,所以a+b的值为4.
6.(2018·辽宁大连)如图,有一张矩形纸片,长10 cm,宽6 cm,在它的四角各减去一个同样的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32 2
cm,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是x cm,根据题意可列方程为 (B)
1
A.10×6-4×6x=32 B.(10-2x)(6-2x)=32 C.(10-x)(6-x)=32
2
D.10×6-4x=32
【解析】设剪去的小正方形边长是x cm,则纸盒底面的长为(10-2x)cm,宽为(6-2x)cm,根据题意得(10-2x)(6-2x)=32.
7.(2018·四川眉山)我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过连续两次下调后,决定以每平方4860元的均价开盘销售,则平均每次下调的百分率是 (C) A.8% B.9% C.10% D.11%
2
【解析】设平均每次下调的百分率为x,由题意得6000(1-x)=4860,解得x1=0.1,x2=1.9(舍去).即平均每次下调的百分率为10%.
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8.(2018·浙江嘉兴)欧几里得的《原本》记载,形如x+ax=b的方程的图解法:画Rt△ABC,
使∠ACB=90°,BC=,AC=b,再在斜边AB上截取BD=.则该方程的一个正根是 (B)
A.AC的长 C.BC的长
B.AD的长 D.CD的长
【解析】设AD=x,根据勾股定理得=b2+,整理得x+ax=b,则该方程的一个正根是
22
AD的长.
2
9.(2018·湖南常德)若关于x的一元二次方程2x+bx+3=0有两个不相等的实数根,则b的值可能是 6(本题答案不唯一) .(只写一个)
22
【解析】∵关于x的一元二次方程2x+bx+3=0有两个不相等的实数根,∴Δ=b-4×2×3>0,
解得b<-2
或b>2
.
10.已知m-2m-1=0,n+2n-1=0且mn≠1,则
22
的值为 3 .
【解析】由n+2n-1=0可知n≠0.∴1+2
=0.∴-1=0,又m2-2m-1=0且mn≠1,即m≠.∴m,是方程x2-2x-1=0的两根.∴m+=2.∴2
=m+1+=2+1=3.
11.(2018·四川内江)已知关于x的方程ax+bx+1=0的两根为x1=1,x2=2,则方程a(x+1)2+b(x+1)+1=0的两根之和为 1 .
2
【解析】设x+1=t,方程a(x+1)+b(x+1)+1=0的两根分别是x3,x4,∴at+bt+1=0,由题意可知t1=1,t2=2,∴t1+t2=3,∴x3+x4+2=3,即x3+x4=1. 12.(6分)解方程:2(x-3)=3x(x-3).
解:2(x-3)=3x(x-3),移项得2(x-3)-3x(x-3)=0,整理得(x-3)(2-3x)=0,∴x-3=0或2-3x=0,
22
解得x1=3,x2=.
13.(8分)已知关于x的一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,请用配方法探索
2
有实数根的条件,并推导出求根公式,证明x1·x2=.
解:∵ax+bx+c=0(a≠0),∴x+x=-,
22
∴x2+x+=-,即,
∵4a2>0,∴当b2-4ac≥0时,方程有实数根,
∴x+=±,
∴当b2-4ac>0时,x1=,x2=;当b-4ac=0时,x1=x2=-.
2
∴x1·x2=,
或x1·x2=,
∴x1·x2=.
14.(9分)某公司今年1月份的生产成本是400万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,3月份的生产成本是361万元.假设该公司2,3,4月每个月生产成本的下降率都相同. (1)求每个月生产成本的下降率;
(2)请你预测4月份该公司的生产成本. 解:(1)设每个月生产成本的下降率为x,
2
根据题意得400(1-x)=361,解得x1=0.05=5%,x2=1.95(不合题意,舍去). 答:每个月生产成本的下降率为5%. (2)361×(1-5%)=342.95(万元).
答:预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.
[名师预测]
3
1.方程x-2=x(x-2)的解为 (D) A.x=0 B.x1=0,x2=2 C.x=2 D.x1=1,x2=2
【解析】原方程变形为x-2-x(x-2)=0,(x-2)·(1-x)=0,x-2=0或1-x=0,解得x1=1,x2=2.
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2.若x=0是关于x的一元二次方程(m-1)x+5x+m-3m+2=0的一个根,则m的值为 (B) A.1 B.2 C.1或2 D.0
2
【解析】把x=0直接代入方程得m-3m+2=0,解得m=1或2,又由已知可得m≠1,故m=2. 3.某商店今年1月份的销售额是2万元,3月份的销售额是4.5万元,从1月份到3月份,该店销售额平均每月的增长率是 (C) A.20% B.25% C.50% D.62.5% 【解析】设该店销售额平均每月的增长率为x,则2月份销售额为2(1+x)万元,3月份销售额
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为2(1+x)万元,由题意可得2(1+x)=4.5,解得x1=0.5=50%,x2=-2.5(不合题意,舍去).
4.某中学组织初三学生篮球比赛,以班为单位,每两班之间都比赛一场,计划安排15场比赛,则共有多少个班级参赛? (C) A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】设共有x个班级参赛,根据题意得=15,解得x1=6,x2=-5(不合题意,舍去),则共
有6个班级参赛.
2
5.在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为a*b=a-b,根据这个规则,方程(x-1)*9=0的解为 x1=-2,x2=4 .
2
【解析】由已知可得(x-1)*9=(x-1)-9=0,即x-1=±3,解得x1=-2,x2=4.
2
6.已知关于x的一元二次方程x-(n+3)x+3n=0. (1)求证:此方程总有两个实数根;
(2)若此方程有两个不相等的整数根,请选择一个合适的n值,写出这个方程并求出此时方程的根.
22
解:(1)∵Δ=(n+3)-12n=(n-3),
2
又(n-3)≥0,∴方程有两个实数根. (2)∵方程有两个不相等的实根, ∴n≠3,取n=0,则方程化为x2-3x=0, 因式分解为x(x-3)=0, ∴x1=0,x2=3.
7.阅读下列材料,解答问题.
222
(2x-5)+(3x+7)=(5x+2).
解:设m=2x-5,n=3x+7,则m+n=5x+2,
222
则原方程可化为m+n=(m+n), 所以mn=0,即(2x-5)(3x+7)=0,
解得x1=,x2=-.
请利用上述方法解方程(4x-5)+(3x-2)=(x-3). 解:设m=4x-5,n=3x-2,则m-n=(4x-5)-(3x-2)=x-3,
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原方程化为m+n=(m-n), 整理得mn=0,
4
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