内容发布更新时间 : 2026/9/30 4:33:18星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第节 曲线与方程

.（辽宁理）如图，抛物线作的切线，切点为

（为原点时，

重合于）.当

.点

题型 求动点的轨迹方程

在抛物线上，过

时，切线

的斜率为

.

（）求的值；

（）当在上运动时，求线段中点的轨迹方程（点为）.

.（ 湖北理 ）（满分分）在平面直角坐标系的距离比它到轴的距离多，记点的轨迹为. （）求轨迹为的方程； （）设斜率为的直线过定点点时的相应取值范围. .（ 广东理 ）（分）已知椭圆（）求椭圆的标准方程； （）若动点

.（

在平面直角坐标系中，当

重合于时，中

中，点到点

.求直线与轨迹恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共

的一个焦点为，离心率为，

为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.

四

川

不是原点时，定义的“伴随点”为

理

）

，当是原点

时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题： ①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点. ②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.

③若两点关于轴对称，则他们的“伴随点”关于轴对称. ④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 .

.①，若令错误；

对于

②

则其伴随点为

，而

③

的伴随点为

解析对于，而不是，故

②，令单位圆上点的坐标为②正确；

，其伴随点为仍在单位圆上，故

对于③，设曲线

关于轴对称，则

对曲线

表示同一曲线，其伴随

曲线分别为伴随曲线分别为

与

与也表示同一曲线，又因为其

的图像关于轴对称，所以③正确；对于

④，直线上取点得，其伴随点消参后轨迹是圆，故④

错误.所以正确的序号为②③. .（全国乙理（））设圆交圆于，两点，过作（）证明

的平行线交

于点.

的圆心为，直线过点

且与轴不重合，

为定值，并写出点的轨迹方程.

，半径

，

.解析 ()如图所示，圆的圆心为

因为于是又

，所以

，所以

.又因为

.故

，所以，

为定值.

，点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，

由，，得.故点的轨迹的方程为.

.（全国丙卷）已知抛物线的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于，两点，交的准线于，两点. （）若在线段（）若

上，是的面积是

，

的中点，证明

的面积的两倍，求

及，所以

；

中点的轨迹方程. ，得

，所以

，

，所以

.解析()连接，，由

.因为是中点，

，

，又

所以，所以（等角的余角相等），所以.

()设，，准线为，，设直线与轴交点为，，因为，所以，得，即． 设中点为， 由，得，即. 又，所以，即．

易知当直线不存在时，点也满足此方程， 所以中点轨迹方程为. .（

全

国

卷

理

科

yAPROQBFx（））设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足. （）求点的轨迹方程； ．解析（）设点，易知，，又， 所以点.又在椭圆上，所以，即．