内容发布更新时间 : 2024/5/20 20:13:03星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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1．2.1 常数函数与幂函数的导数

1．2.2 导数公式表及数学软件的应用

12

明目标、知重点 1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x，y＝，y＝x的导数.2.能利

x用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．

1．几个常用函数的导数

原函数 导函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝ xf(x)＝x 2.基本初等函数的导数公式 原函数 1f′(x)＝0 f′(x)＝1 f′(x)＝2x f′(x)＝－2 xf′(x)＝12x 1导函数 y＝c y＝xn(n∈N＋) y＝xμ(x>0，μ≠0且μ∈Q) y＝sin x y＝cos x y＝ax(a>0，a≠1) y＝ex y＝logax(a>0，a≠1，x>0) y＝ln x y′＝0 y′＝nxn－1 y′＝μxμ－1 y′＝cos_x y′＝－sin_x y′＝axln_a y′＝ex y′＝ xln ay′＝ x11

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在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？这就是本节要研究的问题． 探究点一 几个常用函数的导数

思考1 类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义法求函数y＝f(x)的导函数？利用定义求下列常用函数的导数： 12

①y＝c，②y＝x，③y＝x，④y＝，⑤y＝x.

xΔy答 (1)计算，并化简；

Δx(2)观察当Δx趋近于0时，

Δy趋近于哪个定值； ΔxΔy(3)趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导函数． ΔxΔy①y′＝0，②y′＝1，③y′＝2x，④y′＝Δlim ＝ x→0Δx11

－x＋Δxxlim ＝Δlim Δx→0x→0xΔx1⑤y′＝.

2x思考2 在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数．

(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？

(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ (3)函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？

答 函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象如图所示，导数分别为y′＝2，y′＝3，y′＝4.

－11

＝－2(其它类同)，

x＋Δxx

(1)从图象上看，函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的导数分别表示这三条直线的斜率． (2)在这三个函数中，y＝4x增加得最快，y＝2x增加得最慢． 教育精品学习资源

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(3)函数y＝kx(k>0)增加的快慢与k有关系，即与函数的导数有关系，k越大，函数增加得越快，k越小，函数增加得越慢．

函数y＝kx(k<0)减少的快慢与|k|有关系，即与函数导数的绝对值有关系，|k|越大，函数减少得越快，|k|越小，函数减少得越慢．

1

思考3 画出函数y＝的图象．根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的

x切线方程．

11

答 函数y＝的图象如图所示，结合函数图象及其导数y′＝－2发xx1

现，当x<0时，随着x的增加，函数y＝减少得越来越快；当x>0

x时，随着x的增加，函数减少得越来越慢．

点(1,1)处切线的斜率为－1，过点(1,1)的切线方程为y＝－x＋2. 探究点二 基本初等函数的导数公式

思考 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？

答 可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度． 例1 求下列函数的导数：

π1x3

(1)y＝sin；(2)y＝5；(3)y＝3；(4)y＝x；

3x(5)y＝log3x. 解 (1)y′＝0；

(2)y′＝(5)′＝5ln 5；

xx4

?1?－3－4

(3)y′＝?3?′＝(x)′＝－3x；

x??

4

3?13

(4)y′＝(x)′＝(x)′＝x4＝；

4

43

344x(5)y′＝(log3x)′＝1

. xln 3

反思与感悟 对于教材中出现的基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必π3

须做到以下两点：一是正确理解，如sin＝是常数，而常数的导数一定为零，就不会出

32π?π?现?sin?′＝cos这样的错误结果．二是准确记忆，灵活变形．如根式、分式可转化为指

3?3?

数式，然后利用公式求导．

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