内容发布更新时间 : 2024/5/20 2:46:28星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
7-8-1几何计数（一）
教学目标
1.掌握计数常用方法；
2.熟记一些计数公式及其推导方法； 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．
本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．
知识要点
一、几何计数
在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n条直线最多将平面分成
1n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n个三角形将平面最多分成2?2?3?……?n?(n2?n?2)个部分；
23n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……
在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．
排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．
二、几何计数分类
数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条
数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．
数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．
数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．
例题精讲
7-8-1.几何计数（一）.题库 题库版 page 1 of 10
模块一、简单的几何计数
【例 1】 七个同样的圆如右图放置，它有_______条对称轴．
【考点】简单的几何计数 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】2008年，迎春杯，六年级，初赛，试题 【解析】 如图：6条． 【答案】6条
【例 2】 下面的表情图片中：
（A） 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】2009年，第14届，华杯赛，初赛，第1题
【解析】 通过观察可知，第1，2，5这三张图片是有对称轴的，其他的5张图片都没有对称轴，所以没有对
称轴的个数为5，正确答案是C。
【答案】C
【巩固】 中心对称图形是：绕某一点旋转180°后能和原来的图形重合的图形，轴对称图形是：沿着一条直线
对折后两部分完全重合的图形，图的4个图形中，既是中心对称图形又是的轴对称图形的有 个。
，没有对称轴的个数为（ ）
【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】2009年，希望杯，第七届，五年级，一试，第7题 【解析】 共有3个，除第二个外其余都是。
【答案】3个
【例 3】 两条直线相交所成的锐角或直角称为两条直线的“夹角”。现平面上有若干条直线，它们两两相交，
并且“夹角”只能是30°，60°或90°。问：至多有多少条直线？ 【考点】简单的几何计数 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】2005年，第十届，华杯赛，初赛，试题，第12题 【解析】 至多有6条直线，如图：
【答案】6条
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【例 4】 下图是王超同学为\环境保护专栏\设计的一个报头，用到基本的几何图形：线段、三角形、四边
形、圆、弧线，其中用得最多的一种图形是________ 。
【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】2003年，希望杯，第一届，四年级，二试，第9题 【解析】 观察图形发现是：线段最多
【答案】线段最多
【例 5】 下面的5?5和6?4图中共有____个正方形．
【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 在5?5的图中，边长为1的正方形52个；边长为2的正方形42个； 边长为3的正方形32个；边长
55)正方形．为4的正方形22个；边长为5的正方形有12，总共有 52?42?32?22?12?(个在6?4的图中边长为1的正方形6?4个；边长为2的正方形5?3个； 边长为3的正方形4?2个；边长为4的正方形3?1个；总共有 6?4?5?3?4?2?3?1?42(个)．
【答案】42个
【巩固】 请看下图，共有多少个正方形？
【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】填空【关键词】
【解析】 假设最小的正方形边长为1，则面积为1的正方形有9个；面积为4的正方形有4个；面积为16的
正方形有1个．因此共有9+4+1=14个．
【答案】14个
【巩固】 如下图是一个围棋盘，它由横竖各19条线组成．问：围棋盘上有多少个右图中的小正方形一样的正
方形？
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【考点】简单的几何计数 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】第二届，华杯赛，初赛，试题，第15题
【解析】 我们先在右图小正方形中找一个代表点，例如右下角的点E作为代表点．然后将小正方形按题意放
在围棋盘上，仔细观察点E应在什么地方．通过观察，不难发现： （1）点E只能在棋盘右下角的正方形ABCD（包括边界）的格子点上．
（2）反过来，右下角正方形ABCD中的每一个格子点都可以作为小正方形的点E，也只能作为一个小正方形的点E．
这样一来，就将“小正方形的个数”化为“正方形ABCD中的格子点个数”了．很容易看出正方形ABCD中的格子点为10×10＝100个．
答：共有100个。
【答案】100个
【例 6】 下图中共有____个正方形．
【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 每个4?4正方形中有：边长为1的正方形有42个；边长为2的正方形有32个； 边长为3的正方形
有22个；边长为4的正方形有12个；总共有42?32?22?12?30(个)正方形．现有5个4?4的正方形，它们重叠部分是4个2?2的正方形．因此，图中正方形的个数是30?5?5?4?130．
【答案】130
【例 7】 图中有______个正方形．
【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】解答
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【解析】 5?5的正方形1个；4?4的正方形4个；3?3的正方形5个；2?2的正方形4个；1?1的正方形
13个．共27个．
【答案】27
【巩固】 数一数：图中共有________ 个正方形。
【考点】简单的几何计数 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】2003年，希望杯，第一届，四年级，二试，第10题 【解析】 按面积从小到大4+17+9+4+1=35个 【答案】35个
【巩固】 图中共有 个正方形。
【考点】简单的几何计数 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】2008年，第6届，走美杯，4年级，决赛，第7题
【解析】 设最小正方形的边长为1，那么边长为1的正方形有2个，边长为2的正方形有6个，边长为4的正
方形有5个，边长为8的正方形有2个，边长为12的正方形有1个，边长为16的正方形有1个，所以总共有2?6?5?2?1?1?17（个）。
【答案】17个
【例 8】 下图中共有___________个正方形。
【考点】简单的几何计数 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】2006年，迎春杯，中年级，初试，4题
【解析】 分类计算边长为1的正方形有12个；长为2的正方形有1个；边长为3的正方形有4个；边长为4
的有1个；边长为1个对角线的有1个；边长为2个对角线的有1个；所以一共有：
12?1?4?1?1?1?20（个）
【答案】20个
【巩固】 图1中共有 个正方形。
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