内容发布更新时间 : 2025/9/24 1:42:38星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第3讲 圆的方程
[基础达标]
1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程是( ) A．x＋(y－2)＝1 C．(x－1)＋(y－3)＝1 解析：选A.设圆心为(0，a)， 则（1－0）＋（2－a）＝1，
解得a＝2，故圆的方程为x＋(y－2)＝1.故选A. 2．方程|x|－1＝1－（y－1）所表示的曲线是( ) A．一个圆 C．半个圆
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22
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B．x＋(y＋2)＝1 D．x＋(y－3)＝1
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B．两个圆 D．两个半圆
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??（|x|－1）＋（y－1）＝1，??（x－1）＋（y－1）＝1，
解析：选D.由题意得?即?或
?|x|－1≥0，?x≥1????（x＋1）＋（y－1）＝1，
? ?x≤－1.?
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故原方程表示两个半圆．
3．(2019·金华十校联考)已知圆(x－2)＋(y＋1)＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )
A．3x＋y－5＝0 C．x－2y＋4＝0
B．x－2y＝0 D．2x＋y－3＝0
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1
解析：选D.直线x－2y＋3＝0的斜率为，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在
2直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.故选D.
4．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程是( )
A．(x＋1)＋y＝2 C．(x－1)＋y＝2
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B．(x＋1)＋y＝8 D．(x－1)＋y＝8
2
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??y＝0，
解析：选A.直线x－y＋1＝0与x轴的交点为?
?x－y＋1＝0，?
即(－1，0)．
根据题意，圆心为(－1，0)．
|－1＋0＋3|
因为圆与直线x＋y＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r＝d＝22
1＋1＝2，
则圆的方程为(x＋1)＋y＝2.故选A.
5．圆x＋y－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是( ) A．1＋2 C．1＋
2 2
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2
B．2 D．2＋22
解析：选A.将圆的方程化为(x－1)＋(y－1)＝1，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆|1－1－2|
心到直线x－y＝2的距离d＝＝2，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为
2
d＋1＝2＋1，选A.
6．(2019·杭州八校联考)圆x＋y＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)13
对称，则＋的最小值是( )
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abA．23 C．4
2
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20B．
316D．
3
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解析：选D.由圆x＋y＋2x－6y＋1＝0知其标准方程为(x＋1)＋(y－3)＝9，因为圆
x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称，所以该直线经过圆心(－1，
131?13?1
3)，即－a－3b＋3＝0，所以a＋3b＝3(a>0，b>0)．所以＋＝(a＋3b)?＋?＝
ab3?ab?3
?1＋3a＋3b＋9?≥1?
??3?10＋2ba???3b3a3a3b?16
·?＝，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故选D.
abba?3
7．圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1，1)，B(1，3), 若M(m，6)在圆C内，则m的取值范围为________．
解析：设圆心为C(a，0)，由|CA|＝|CB|得 (a＋1)＋1＝(a－1)＋3，所以a＝2. 半径r＝|CA|＝（2＋1）＋1＝10. 故圆C的方程为(x－2)＋y＝10.
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由题意知(m－2)＋(6)<10，解得0 8．已知点P(－2，－3)，圆C：(x－4)＋(y－2)＝9，过点P作圆C的两条切线，切点为A，B，则过P、A、B三点的圆的方程为________________． 解析：易知圆C的圆心为C(4，2)，连接AC、BC， 由题意知PA⊥AC，PB⊥BC， 1??所以P，A，B，C四点共圆，连接PC，则所求圆的圆心O′为PC的中点，所以O′?1，－?， 2??所以所求圆的半径r′＝2 2 22 ?1?（1＋2）＋?－＋3?＝ ?2? 2 2 61. 4 ?1?61 所以过P，A，B三点的圆的方程为(x－1)＋?y＋?＝. 4?2? 2 2 ?1?61 答案：(x－1)＋?y＋?＝ 4?2? 2 2 9．已知点P(2，2)，圆C：x＋y－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，则点M的轨迹方程为________________． 解析：圆C的方程可化为x＋(y－4)＝16， 所以圆心为C(0，4)，半径为4. →→ 设M(x，y)，则CM＝(x，y－4)，MP＝(2－x，2－y)． →→ 由题设知CM·MP＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0. 即(x－1)＋(y－3)＝2. 由于点P在圆C的内部，所以点M的轨迹方程是(x－1)＋(y－3)＝2. 答案：(x－1)＋(y－3)＝2 10．已知圆O：x＋y＝8，点A(2，0)，动点M在圆上，则∠OMA的最大值为________． 解析：设|MA|＝a，因为|OM|＝22，|OA|＝2，由余弦定理知cos∠OMA＝ 222222 |OM|＋|MA|－|OA|（22）＋a－21?4?1·2＝＝·?＋a?≥ 2|OM|·|MA|2×22a42?a?42 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 4 a·a＝ 2 ，当且仅当a2 ＝2时等号成立． ππ 所以∠OMA≤，即∠OMA的最大值为. 44 π答案： 4 11．求适合下列条件的圆的方程． (1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)； (2)过三点A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2)． 解：(1)法一：设圆的标准方程为(x－a)＋(y－b)＝r，则有 2 2 2 b＝－4a，??（3－a）＋（－2－b）＝r， ?|a＋b－1| ??2＝r， 2 2 2 解得a＝1，b＝－4，r＝22. 所以圆的方程为(x－1)＋(y＋4)＝8. 法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)． 所以半径r＝（1－3）＋（－4＋2）＝22， 所以所求圆的方程为(x－1)＋(y＋4)＝8. (2)设圆的一般方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0(D＋E－4F＞0)， 1＋144＋D＋12E＋F＝0，?? 则?49＋100＋7D＋10E＋F＝0， ??81＋4－9D＋2E＋F＝0.解得D＝－2，E＝－4，F＝－95. 所以所求圆的方程为x＋y－2x－4y－95＝0. 12．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝410. (1)求直线CD的方程； (2)求圆P的方程． 解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1，2)． 则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0. (2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上， 得a＋b－3＝0.① 又因为直径|CD|＝410，所以|PA|＝210， 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2