内容发布更新时间 : 2026/4/29 1:14:50星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
（1）3次都击中目标；（2）3次均未击中目标；（3）第2次击中目标，而第1、3次都没击中；（4）第2次击中目标而第3次没击中；（5）恰好有1次击中目标；（6）至少有1次击中目标（其逆事件为3次均未击中目标）；（7）至多有1次击中目标。
解 （1）ABC； （2）ABC； （3）ABC；
（4）BC； （5）ABC?ABC?ABC； （6）A?B?C 或 ABC； （7）ABC?ABC?ABC?ABC。
【例2】 吴书p.6.例2。
某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分管道1，2，3组成，试用事件
Ai?{第i号管道正常工作} (i?1,2,3)
表示事件“城市能正常供水”和“城市断水”。
【例3】 已知随机事件A与B是互逆事件，求证：A与B也是互逆事件。 证明：由于A与B是互逆事件，有
A?B??， AB??
于是
A?B?AB???? 且有 AB?A?B????
所以A与B也是互逆事件。
【例4】
对随机事件A、B，求证：A?B?A?AB。
证明：A?AB?AAB?A(A?B)?AA?AB???AB?AB?A?B
§2 事件的概率与等可能概型（古典概型）
一、频率与概率
定义1 若事件A在n次相同条件下的重复试验中发生了nA次，则称
fn(A)?nA n为事件A在这n次试验中出现的频率，并称nA为事件A在这n次试验中出现的频数。
由定义易知，频率具有以下性质： 1．非负性 fn(A)?0 2．规范性 fn(?)?1
3．有限可加性 若k个事件A1,A2,?,Ak两两互不相容，则有
fn(A1?A2???Ak)?fn(A1)?fn(A2)???fn(Ak)
随机事件在一次试验中是否发生是不确定的，但在大量重复试验或观察中，其发生却具有规律性。
例如，历史上，多人做过抛掷硬币的试验，其结果如下表所示 试验者 蒲丰 费勒 皮尔逊 维尼 试验次数N 4040 10000 12000 30000 正面向上次数n 2028 4979 6019 14994 正面向上频率f 0.5069 0.4979 0.5016 0.4998 从表中可以看出，当抛掷次数足够多时，正面向上的频率在0.5附近摆动，这种现象称为随机事件的频率稳定性，这是概率这一概念的经验基础。
定义2 在相同条件下做大量重复随机试验，事件A出现的频率总在某一常数p附近摆动，且试验次数越多，摆动幅度越小，则称常数p为事件A的概率，记作P(A)?p。 该定义通常称为概率的统计定义。概率的统计定义虽无法确定概率的准确值，但可取当试验次数n充分大时，事件A出现的频率作为它的近似值，这一点在实践中有着重要意义。
概率P(A)表示随机事件A发生的可能性大小，它是事件A本身客观存在的一种固有属性。由频率的稳定性和频率的性质得到启发，给出概率的公理化定义。
定义 设E是随机试验，?是它的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为P(A)，如果集合函数P(?)满足下列条件，则称P(A)为事件A的概率：
1．非负性 对每一个事件A，有P(A)?0 2．规范性 对必然事件?，有P(?)?1
3．可列可加性 设事件A1,A2,?是两两互不相容的事件，则有
P(A1?A2??)?P(A1)?P(A2)?? 或 P(?Ai)??P(Ai)
i?1i?1??
二、概率的性质
性质1 P(?)?0
性质2 (有限可加性) 若事件A1,A2,?,An两两互不相容，则有
P(A1?A2???An)?P(A1)?P(A2)???P(An)
性质3 若事件A,B满足A?B，则有
P(B?A)?P(B)?P(A)， P(B)?P(A)
性质4 对任一事件A，P(A)?1 性质5 （逆事件概率） 对任一事件A，有
P(A)?1?P(A)
性质6 （加法公式）对任意两个事件A,B，有
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)
推广到对任意三个事件A,B,C，则有
P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P((BC)?P(ABC)
【例1】 随机调查某班的一次考试成绩，数学及格的学生占72%，语文及格的学生占69%，两门都及格的学生占50%，问至少一门及格的学生的概率？
解 设A表示“数学及格的学生”，B表示“语文及格的学生”，则“两门都及格的学生”可用AB表示，“至少有一门及格的学生”可用A?B表示。
已知P(A)?72%，P(B)?69%，P(AB)?50%，于是由加法公式得
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?91%
【例2】 已知事件A和B满足P(AB)?P(AB)，且P(A)?t，求P(B)。 解 因为AB?A?B，于是有
P(AB)?P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?[P(A)?P(B)?P(AB)]
化简得 P(A)?P(B)?1 所以 P(B)?1?P(A)?1?t。 【例3】（减法公式）对任意两个事件A,B，有
P(A?B)?P(A)?P(AB)
证明：因为A?B?A?AB，且AB?A，所以有
P(A?B)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)
【例4】设事件A,B,C，当P(A?B)?0.6,P(B)?0.3时，求P(AB)。
解 P(AB)?P(A?B)?P(A)?P(AB)?[P(A)?P(B)?P(AB)]?P(B) ?P(A?B)?P(B)?0.6?0.3?0.3
三、等可能概型（古典概型）
先看两个例子。
【例1】 在抛掷硬币试验中，试验只有2个结果：“出现正面”和“出现反面”。由于硬币是均质的，这两个结果发生的可能性相同，即它们的概率都是1/2。
【例2】 在投掷骰子试验中，试验的结果有6个：“出现的点数为i”(i?1,2,3,4,5,6)。由于骰子是均质的，每一个结果发生的可能性相同，即它们的概率都是1/6。 以上两个例子具有如下共同点：
（1）有限性 试验可能发生的结果是有限的，即样本空间中只含有限个基本事件； （2）等可能性 试验中每个基本事件发生的可能性是相同的。 具有上述特点的随机试验称为等可能概型（古典概型）。
定义 在古典概型中，设样本空间?的基本事件总数为n，事件A包含的基本事件数为k，则事件A的概率为
P(A)?k?事件A包含的基本事件数/样本空间?中基本事件的总数。 n该定义通常称为概率的古典定义。
【例3】 吴书p.11.例3。 将一枚硬币抛两次，
（1）设事件A1为“恰好有一次出现正面”，求P(A1)； （2）设事件A2为“至少有一次出现正面”，求P(A2)。
【例4】 盛书p.10.例2，放回抽样；吴书p.12.例4，不放回抽样。
设口袋装有6个球，其中4个白球、2个红球，从袋中取球2次，每次取一个。试分别就放回抽样和不放回抽样两种情况求
（1）取到的2个球都是白球的概率； （2）取到的2个球颜色相同的概率；
（3）取到的2个球中至少有一个是白球的概率。 【例5】 盛书p.12.例4
设有N件产品，其中有D件次品，今从中任取n件，问其中恰有k(k?D)件次品的概率是多少？（超几何分布）
【例5`】 一个袋里有5个白球，4个黑球，从袋中任取3个球，（1）求3个球都是黑球的概率；（2）求至少有1个黑球的概率；（3）求至少有2个黑球的概率。 解 从全部9个球中任取3个球，共有C9种取法。
(1) 设A表示“取出3个球都是黑球”。从4个黑球中任取3个黑球有C4种取法。
33所以 P(A)?C4/C9?4/84?0.083。
33（2）设B表示“取出3个球至少有1个黑球”，则B表示“取出3个球都是白球”。由于
33P(B)?C5/C9?10/84?0.119
所以 P(B)?1?P(B)?1?0.119?0.881。
(3) 设C表示“取出3个球至少有2个黑球”，D表示“取出3个球恰有2个黑球”，E
表示“取出3个球恰有3个黑球”，则C?D?E，且D、E互不相容。于是
P(C)?P(D?E)?P(D)?P(E)
21333 ?C4C5/C9?C4/C9?30/84?4/84?0.405。
【例6】 吴书p.13.例5（盛书p.11.例3）。
将n个球放入N(N?n)个盒子中去，设盒子容量不限，试求
（1）每个盒子至少有一个球的概率； （2）n个盒子中各有一个球的概率。 【例7】 吴书p.14.例6（盛书p.12.例5）。
袋中有a个白球，b个红球，k个人依次在袋中任取一个球，（1）作放回抽样；（2）作不放回抽样，求第i(i?1,2,?,k)人取到白球（记为事件B）的概率(k?a?b)。（抽签原理）
【例8】 盛书p.13.例6。
在1~2000的整数中随机地取一个数，求取到的整数即不能被6整除，又不能被8整除的概率。
【例9】 盛书p.13.例7。
将15名新生随机地平均分配到3个班级中去，这15名新生中有3名优秀生。求 （1）每个班级各分配到1名优秀生的概率； （2）3名优秀生分配在同一班级的概率。 【例10】吴书p.15.例7。 （女士品茶）一位常饮奶茶的女士称：她能从一杯冲好的奶茶中辨别出该奶茶是先放牛奶还是先放茶冲制而成.做了10次测试，结果是她都正确地辨别出来了.问该女士的说法是否可信？（实际推断原理：概率很小的事件在一次试验中实际上几乎不会发生）
【例10`】 从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字，计算它们组成的两位数大于30的概率。
解 设事件A表示“取到的两位数大于30”，先从3,4,5中任取一个数作为十位数，有
11C3种取法，再从余下的四个数中任取一个数作为个位数，有C4种取法，故事件A包含的
基本事件数为
11C3C4?3?4?12。